ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

灘中の入試問題から

立体幾何初歩 算数 中学数学

2016 年の入試問題である.

【問】

【解】
①
四角錐を点 A, G, K を含む平面で切断して, 三角すい A-IKG, A-JKG の体積の和として求めればよいが, どちらも同じ体積なので, 片方の体積のみ求めて 2 倍すればよい. 答えは

\displaystyle{ 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 6 = 36\ (\rm{cm}^3)}

②
求めるものは四角すい K -GNMO の体積である. 同じようにして, 三角すい M-NKG, M-KGO の体積の和として求める.

三角形の相似から

KN:NI = 3:4
KO:OJ = 3:2

今度は天秤法を使って,

KM:MA = 1:2

M-NKG の体積は, A-IKGの体積の

\displaystyle{ \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3}= \frac{1}{7}}

であり, M-KGO の体積は, A-JKGの体積の

\displaystyle{ \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3}= \frac{1}{5}}

である. したがって, 求める四角すい K -GNMO の体積は,

\displaystyle{ 18\left( \frac{1}{7} + \frac{1}{5}\right)= \frac{216}{35} \ (\rm{cm}^3)}
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