分数計算 - ノリの悪い日記

今度は前にやった問題を含めてなるべく分数を使って解いてみる. 大正時代の本を読んでいたら『未知数を一とせぬ分数の新しい解き方』という本があって, たしかに初めての人はなぜ $1$ とおくのか疑問に思うかもしれない, もっともだなあと思った.「未知数を $1$ 」とおくのは未知数を基準 (もとになる量) にとって, $1$ とは基準の $1$ 倍のことである. 中学になると $1 \times x = x$ と書きますとならって, $1$ 倍を意識しなくなるわけだが, そこに $1$ 倍があることを思い出してみるのも, まんざら無益とは言えないような気がする.

【問】
$A$ さんと $B$ さんの所持金の比は $4:1$ でしたが， $2$ 人とも $600$ 円のおこづかいをもらって $2$ 人の所持金の比が $3:1$ になりました. $B$ さんははじめいくらもっていましたか.

(解)

$2$ 人の所持金の差は変わらないので, 所持金の差を基準にとる. すると, $B$ さんの最初の所持金は, 基準の $\displaystyle{ \frac{1}{3}}$ であり, 最後の所持金は, 基準の $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ である. その差,

$\displaystyle{\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}$

が $600$ 円に相当する. したがって, $B$ さんの最初の所持金は, $1200$ 円である.

【問】
今から $2$ 年前、母の年令は息子の年令の $5$ 倍でしたが、今から $16$ 年後にちょうど $2$ 倍になります。現在の母の年令を求めなさい。

(解)

$2$ 人の年令差は変わらないので, それを基準にとる. そうすると今から $2$ 年前の母の年令は基準の $\displaystyle{ \frac{5}{4}}$ であり, $18$ 年後は基準の $2$ 倍である. したがって, 基準の

$\displaystyle{2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}}$

が $18$ 年に相当する. これから, 今から $2$ 年前の母の年令は $30$ 才であり, 現在の年令は $32$ 才である.

【問】
$A$ さんと $B$ さんの所持金の比は $3:2$ でしたが， $A$ さんが $B$ さんに $50$ 円あげたため $2$ 人の所持金の比が $4:3$ になりました. $A$ さんははじめいくらもっていましたか.

(解)

$2$ 人の所持金の合計はお金のやり取りをした後も変わらないので, 合計金額を基準にとる. そうすると, $A$ さんの最初の所持金は基準の $\displaystyle{ \frac{3}{5}}$ であり, 最後は基準の $\displaystyle{ \frac{4}{7}}$ である.

$\displaystyle{\frac{3}{5} - \frac{4}{7} = \frac{1}{35 }}$

が $50$ 円に相当するので, $A$ さんの最初の金額は,

$\displaystyle{50 \times 35 \times \frac{3}{5} = 1050}$

円である.

【問】
$A$ 君と $B$ 君の所持金の比は $1 : 3$ でしたが, $A$ 君は $50$ 円もらい, $B$ 君は $100$ 円使ったため, 所持金の比は $2 : 1$ となりました. $A$ 君の最初の所持金を求めなさい.

(解)

$50$ 円もらった後の $A$ 君の所持金額を基準にとる.

$B$ 君がもし $150$ 円もらったとしたら, $B$ 君の所持金は (基準の) $3$ 倍になる. ところが実際には $B$ 君は $100$ 円使ったので, (基準の) $\displaystyle{\frac{1}{2} }$ となった. したがって,

$150 + 100 = 250$

円が, (基準の)

$\displaystyle{3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}}$

にあたる. したがって, 基準 ( $50$ 円もらった後の $A$ 君の所持金額) は,

$\displaystyle{250 \div \frac{5}{2} = 100}$

円である. これから $A$ 君のはじめの所持金は

$100 - 50 = 50$

円である.

【問】
はじめに, 兄と弟がもっている鉛筆の本数の比は $7:5$ でしたが, 兄が友達から鉛筆を $12$ 本もらい, 弟は友達に鉛筆を $4$ 本あげたので, 兄と弟の鉛筆の本数の比は $12: 7$ になりました. はじめに兄がもっていた鉛筆の本数を求めなさい.

(解)

友達から $12$ 本もらった後の兄の鉛筆の本数を基準とする.

兄が鉛筆を $12$ 本もらい, 弟が鉛筆を

$\displaystyle{ 12 \times \frac{5}{7} = \frac{60}{7 }}$

本もらえば, 弟の鉛筆の本数は (基準の) $\displaystyle{\frac{5}{7}}$ のままであるが, 実際は $4$ 本あげたので, 弟の鉛筆の本数は (基準の) $\displaystyle{\frac{7}{12}}$ になった. したがって

$\displaystyle{ \frac{60}{7} + 4= \frac{88}{7 }}$

本が (基準の)

$\displaystyle{ \frac{5}{7} - \frac{7}{12} = \frac{60}{84} - \frac{49}{84}= \frac{11}{84 }}$

に相当する. したがって, 基準 ( $12$ 本もらった後の兄の鉛筆の本数) は,

$\displaystyle{ \frac{88}{7} \div \frac{11}{84} = \frac{88}{7} \times \frac{84}{11} = 96}$

本で, はじめの兄の鉛筆の本数は,

$96 - 12 = 84$

本となる.

【問】
$A$ 中学と $B$ 中学の受験者数の比は $4 :5$ で, 合格者数はそれぞれ $120$ 人と $180$ 人, 不合格者数の比は $5 : 6$ でした. $A$ 中学の受験者数を求めなさい.

(解)

$A$ 中学の不合格者数を基準とする.

$A$ 中学の合格者数が $120$ 人で, $B$ 中学の合格者数が

$\displaystyle{ 120 \times \frac{5}{4} = 150}$

人ならば, $B$ 中学の不合格者数は基準の $\displaystyle{\frac{5}{4}}$ のままである. ところが, $B$ 中学の合格者数が $180$ 人だったので, $B$ 中学の不合格者数は (基準の) $\displaystyle{\frac{6}{5}}$ である.

$180 -150 = 30$

人が (基準の)

$\displaystyle{ \frac{5}{4} - \frac{6}{5}= \frac{1}{20}}$

にあたるので, 基準 ( $A$ 中学の不合格者数) は,

$\displaystyle{ 30 \div \frac{1}{20} = 600}$

人である. $A$ 中学の入学者数は不合格者数と合格者数をあわせて,

$120 + 600 = 720$

人である.

【問】
川に沿った $A$ 町と $B$ 町の間を船で往復したところ, 上りと下りにかかった時間の比は, $5:3$ でした。上りの速さが時速 $15$ km のとき, 川の流れの速さを求めなさい.

(解)

上りの速さ, 時速 $15$ km を基準とする.

$A$ 町と $B$ 町の距離は変わらないから, 上りと下りの速さの比は上りと下りにかかった時間の逆比である. つまり, 下りの速さは (基準の) $\displaystyle{\frac{5}{3}}$ である. すると, 下りの速さと上りの速さの差は, (基準の)

$\displaystyle{ \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}}$

である. したがって川の流れの速さは, (基準の)

$\displaystyle{ \frac{2}{3} \div 2 = \frac{1}{3} }$

である. これから、川の流れの速さは時速

$\displaystyle{ 15 \times \frac{1}{3} = 5}$

km である.

【問】
何人かの子どもにあめを配ります. $1$ 人に $5$ 個ずつ配ると $10$ 個余り, $7$ 個ずつ配ると $4$ 個不足する. 子どもの人数とあめの個数を求めなさい.

(解)

子供に $5$ 個ずつ配ったあめの合計を基準とする。

子供 $1$ 人に $7$ 個ずつ配るとあめの数は (基準の) $\displaystyle{\frac{7}{5}}$ 必要である。

$10 + 4 = 14$

個が、 (基準の)

$\displaystyle{ \frac{7}{5} - 1 = \frac{2}{5}}$

に相当するから, 基準 (子供に $5$ 個ずつ配ったあめの合計) は,

$\displaystyle{ 14 \div \frac{2}{5} = 35}$

個である. したがって, 子どもの数は

$\displaystyle{ 35 \div 5= 7}$

人で, もともとのあめの個数は

$35 + 10 = 45$

個である.

【問】
ある駅伝大会では, 参加チームそれぞれにお菓子とみかんの個数の比が $7:5$ になるように配ると, お菓子は $5$ 個, みかんは $2$ 個余る予定でした. ところが, 参加チームが増えたため, お菓子とみかんの個数の比を $3:2$ にして配ったところ, お菓子は $1$ 個, みかんは $6$ 個余りました. お菓子は全部で何個ありますか.