分数計算 - ノリの悪い日記

今度は前にやった問題を含めてなるべく分数を使って解いてみる. 大正時代の本を読んでいたら『未知数を一とせぬ分数の新しい解き方』という本があって, たしかに初めての人はなぜ $1$ とおくのか疑問に思うかもしれない, もっともだなあと思い, 「未知数を $1$ 」とおくのは未知数を基準数にとり, $1$ とは基準数の $1$ 倍の意味にすぎないことを明示するようにした. 中学になると $1 \times x = x$ と書きますとならって, $1$ 倍を意識しなくなるわけだが, そこに $1$ 倍があることを思い出してみるのも, まんざら無益とは言えないような気がする.

【問】
$A$ さんと $B$ さんの所持金の比は $4:1$ でしたが， $2$ 人とも $600$ 円のおこづかいをもらって $2$ 人の所持金の比が $3:1$ になりました. $B$ さんははじめいくらもっていましたか.

(解)

$600$ 円のおこづかいをもらった $B$ さんの所持金額を基準数とすれば, $600$ 円のおこづかいをもらった $B$ さんの所持金額はその $1$ 倍とみなせる.

$600$ 円のおこづかいをもらった $A$ さんの所持金は (基準数の) $3$ 倍である. もし $A$ さんが $600$ 円でなく,

$600 \times 4 = 2400$

円もらったとしたら, $A$ さんの所持金は (基準数の) $4$ 倍のままである. すると,

$2400 - 600 = 1800$

円は, (基準数の)

$4-3 =1$

倍にあたる。したがって $B$ さんははじめに

$1800 - 600 = 1200$

円もっていた.

【問】
今から 2 年前、母の年令は息子の年令の 5 倍でしたが、今から 16 年後にちょうど 2 倍になります。現在の母の年令を求めなさい。

(解)

今から 2 年前の母の年令を基準数にとる. 今から 2 年前の母の年令は基準数の $1$ 倍である.

母と息子の年令差はいつも, (基準数の)

$\displaystyle{1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}}$

倍のままである. 母の年令は, 今から $16$ 年後には, (基準数の)

$\displaystyle{2 \times \frac{4}{5} = \frac{8}{5}}$

倍になっている. そうすると

$2 + 16 = 18$

年が (基準数の)

$\displaystyle{ \frac{8}{5} - 1 = \frac{3}{5}}$

倍にあたる. したがって基準数 (今から 2 年前の母の年令) は,

$\displaystyle{18 \div \frac{3}{5} = 30}$

才で, 現在の母の年令は,

$30 + 2 = 32$

才である.

【問】
$A$ さんと $B$ さんの所持金の比は $3:2$ でしたが， $A$ さんが $B$ さんに $50$ 円あげたため $2$ 人の所持金の比が $4:3$ になりました. $A$ さんははじめいくらもっていましたか.

(解)

はじめの $A$ さんの所持金額を基準数とする.

$2$ 人の所持金の合計はお金のやり取りをした後も変わらず, (基準数の)

$\displaystyle{1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3 }}$

倍にあたる. $A$ さんが $B$ さんに $50$ 円あげたことにより $A$ さんの所持金は, (基準数の)

$\displaystyle{ \frac{5}{3} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{21 }}$

倍となったので, $50$ 円が (基準数の )

$\displaystyle{ 1 - \frac{20}{21} = \frac{1}{21 }}$

倍に相当する. したがって, 基準数である $A$ さんのはじめの金額は,

$\displaystyle{50 \div \frac{1}{21} = 1050}$

円である.

【問】
$A$ 君と $B$ 君の所持金の比は $1 : 3$ でしたが, $A$ 君は $50$ 円もらい, $B$ 君は $100$ 円使ったため, 所持金の比は $2 : 1$ となりました. $A$ 君の最初の所持金を求めなさい.

(解)

$50$ 円もらった後の $A$ 君の所持金額を基準数にとる.

$A$ 君が $50$ 円もらい, $B$ 君がもし $150$ 円もらったとしたら, $B$ 君の所持金は (基準数の) $3$ 倍である. ところが実際には $B$ 君は $100$ 円使ったので, (基準数の) 1/2 倍となった. したがって,

$150 + 100 = 250$

円が, (基準数の)

$\displaystyle{3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}}$

倍にあたる. したがって, 基準数 (50円もらった後の $A$ 君の所持金額) は,

$\displaystyle{250 \div \frac{5}{2} = 100}$

円である. $A$ 君のはじめの所持金は

$100 - 50 = 50$

円である.

【問】
はじめに, 兄と弟がもっている鉛筆の本数の比は $7:5$ でしたが, 兄が友達から鉛筆を $12$ 本もらい, 弟は友達に鉛筆を $4$ 本あげたので, 兄と弟の鉛筆の本数の比は $12: 7$ になりました. はじめに兄がもっていた鉛筆の本数を求めなさい.

(解)

友達から $12$ 本もらった後の兄の鉛筆の本数を基準数とする.

兄が鉛筆を $12$ 本もらい, 弟が鉛筆を

$\displaystyle{ 12 \times \frac{5}{7} = \frac{60}{7 }}$

本もらえば, 弟の鉛筆の本数は (基準数の) 5/7 倍のままであるが, 実際は 4 本あげたので, 弟の鉛筆の本数は (基準数の) 7/12 倍になった. したがって

$\displaystyle{ \frac{60}{7} + 4= \frac{88}{7 }}$

本が (基準数の)

$\displaystyle{ \frac{5}{7} - \frac{7}{12} = \frac{60}{84} - \frac{49}{84}= \frac{11}{84 }}$

倍に相当する. したがって, 基準数 ( $12$ 本もらった後の兄の鉛筆の本数) は,

$\displaystyle{ \frac{88}{7} \div \frac{11}{84} = \frac{88}{7} \times \frac{84}{11} = 96}$

本で, はじめの兄の鉛筆の本数は,

$96 - 12 = 84$

本となる.

【問】
$A$ 中学と $B$ 中学の受験者数の比は $4 :5$ で, 合格者数はそれぞれ $120$ 人と $180$ 人, 不合格者数の比は $5 : 6$ でした. $A$ 中学の受験者数を求めなさい.

(解)

$A$ 中学の不合格者数を基準数とする.

$A$ 中学の合格者数が $120$ 人で, $B$ 中学の合格者数が

$\displaystyle{ 120 \times \frac{5}{4} = 150}$

人ならば, $B$ 中学の不合格者数は基準数の $5/4$ 倍のままである. ところが, $B$ 中学の合格者数が $180$ 人だったので, $B$ 中学の不合格者数は (基準数の) $6/5$ 倍である.

$180 -150 = 30$

人が (基準数の)

$\displaystyle{ \frac{5}{4} - \frac{6}{5}= \frac{1}{20}}$

倍にあたるので, 基準数 ( $A$ 中学の不合格者数) は,

$\displaystyle{ 30 \div \frac{1}{20} = 600}$

人である. $A$ 中学の入学者数は不合格者数と合格者数をあわせて,

$120 + 600 = 720$

人である.

【問】
川に沿った $A$ 町と $B$ 町の間を船で往復したところ, 上りと下りにかかった時間の比は, $5:3$ でした。上りの速さが時速 $15$ Km のとき, 川の流れの速さを求めなさい.

(解)

上りの速さ, 時速 $15$ Km を基準数とする.

$A$ 町と $B$ 町の距離は変わらないから, 上りと下りの速さの比は上りと下りにかかった時間の逆比である. つまり, 下りの速さは (基準数の) $5/3$ 倍である. 下りの速さと上りの速さの差は, (基準数の)

$\displaystyle{ \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}}$

倍である. すると川の流れの速さは, (基準数の)

$\displaystyle{ \frac{2}{3} \div 2 = \frac{1}{3} }$

倍である. したがって、川の流れの速さは時速

$\displaystyle{ 15 \times \frac{1}{3} = 5}$

Km である.

【問】
$A$ , $B$ 間を行きは時速 $40$ Km, 帰りは時速 $60$ Km で走ります. このとき, 往復の平均の速さは時速何 Km になりますか.

(解)

$A$ と $B$ の間を往復する距離は行きの距離の $2$ 倍である. $A$ と $B$ の間を往復するのにかかる時間は, 行きにかかる時間の

$\displaystyle{ 1 + \frac{40}{60} = \frac{5}{3}}$

倍である. したがって往復の平均の速さは, 行きの速さの

$\displaystyle{ 2 \div \frac{5}{3} = \frac{6}{5} }$

倍である. 行きの時速は $40$ Km だから, 往復の平均の速さは時速

$\displaystyle{ 40 \times \frac{6}{5} = 48 }$

Kmである.

【問】
何人かの子どもにあめを配ります. $1$ 人に $5$ 個ずつ配ると $10$ 個余り, $7$ 個ずつ配ると $4$ 個不足する. 子どもの人数とあめの個数を求めなさい.

(解)

子供に $5$ 個ずつ配ったあめの合計を基準数とする。

子供 $1$ 人に $7$ 個ずつ配るとあめの数は (基準数の) 7/5 倍必要である。

$10 + 4 = 14$

個が、 (基準数の)

$\displaystyle{ \frac{7}{5} - 1 = \frac{2}{5}}$

倍に相当するから, 基準数 (子供に $5$ 個ずつ配ったあめの合計) は,

$\displaystyle{ 14 \div \frac{2}{5} = 35}$

個である. したがって, 子どもの数は

$\displaystyle{ 35 \div 5= 7}$

人で, もともとのあめの個数は

$35 + 10 = 45$

個である.

【問】
ある駅伝大会では, 参加チームそれぞれにお菓子とみかんの個数の比が $7:5$ になるように配ると, お菓子は $5$ 個, みかんは $2$ 個余る予定でした. ところが, 参加チームが増えたため, お菓子とみかんの個数の比を $3:2$ にして配ったところ, お菓子は $1$ 個, みかんは $6$ 個余りました. お菓子は全部で何個ありますか.