ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

分数計算

今度は前にやった問題を含めてなるべく分数を使って解いてみる. 大正時代の本を読んでいたら 『未知数を一とせぬ分数の新しい解き方』という本があって, たしかに初めての人はなぜ 1 とおくのか疑問に思うかもしれない, もっともだなあと思い, 「未知数を 1 」とおくのは未知数を基準数にとり, 1 とは基準数の  1 倍の意味にすぎないことを明示するようにした. 中学になると 1 \times x = x と書きますとならって,  1 倍を意識しなくなるわけだが, そこに  1 倍があることを思い出してみるのも, まんざら無益とは言えないような気がする.

【問】

A さんと B さんの所持金の比は 4:1 でしたが,2 人とも 600 円のおこづかいをもらって 2 人の所持金の比が 3:1 になりました. B さんははじめいくらもっていましたか.

(解)

600 円のおこづかいをもらった B さんの所持金額を基準数とすれば, 600 円のおこづかいをもらった  B さんの所持金額はその 1 倍とみなせる.

 600 円のおこづかいをもらった  A さんの所持金は (基準数の) 3 倍である. もし  A さんが 600 円でなく,

 600 \times 4 = 2400

円もらったとしたら, A さんの所持金は (基準数の) 4 倍のままである. すると,

 2400 - 600 = 1800

円は, (基準数の)

4-3 =1

倍にあたる。したがって  B さんははじめに

 1800 - 600 = 1200

円もっていた.

【問】

今から 2 年前、母の年令は息子の年令の 5 倍でしたが、今から 16 年後にちょうど 2 倍になります。現在の母の年令を求めなさい。

(解)

今から 2 年前の母の年令を基準数にとる. 今から 2 年前の母の年令は基準数の 1 倍である.

母と息子の年令差はいつも, (基準数の)

 \displaystyle{1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}}

倍のままである. 母の年令は, 今から 16 年後には, (基準数の)

 \displaystyle{2 \times \frac{4}{5} = \frac{8}{5}}

倍になっている. そうすると

 2 + 16 = 18

年が (基準数の)

 \displaystyle{ \frac{8}{5} - 1  = \frac{3}{5}}

倍にあたる. したがって基準数 (今から 2 年前の母の年令) は,

 \displaystyle{18 \div  \frac{3}{5} = 30}

才で, 現在の母の年令は,

 30 + 2 = 32

才である.

【問】

A さんと B さんの所持金の比は  3:2 でしたが, A さんが B さんに  50 円あげたため 2 人の所持金の比が  4:3 になりました.  A さんははじめいくらもっていましたか.

(解)

はじめの A さんの所持金額を基準数とする.

2 人の所持金の合計はお金のやり取りをした後も変わらず, (基準数の)

 \displaystyle{1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3 }}

倍にあたる. A さんが B さんに 50 円あげたことにより A さんの所持金は, (基準数の)

 \displaystyle{ \frac{5}{3} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{21 }}

倍となったので, 50 円が (基準数の )

 \displaystyle{ 1 - \frac{20}{21} = \frac{1}{21 }}

倍に相当する. したがって, 基準数であるA さんのはじめの金額は,

 \displaystyle{50 \div  \frac{1}{21} = 1050}

円である.

【問】

A 君と B 君の所持金の比は 1 : 3 でしたが, A 君は 50 円もらい, B 君は 100 円使ったため, 所持金の比は 2 : 1 となりました. A 君の最初の所持金を求めなさい.

(解)

50 円もらった後の A 君の所持金額を基準数にとる.

A 君が 50 円もらい, B 君がもし 150 円もらったとしたら, B 君の所持金は (基準数の) 3 倍である. ところが 実際には B 君は 100 円使ったので, (基準数の) 1/2 倍となった. したがって,

150 + 100 = 250

円が, (基準数の)

 \displaystyle{3 -   \frac{1}{2} =  \frac{5}{2}}

倍にあたる. したがって, 基準数 (50円もらった後の A 君の所持金額) は,

 \displaystyle{250 \div  \frac{5}{2} = 100}

円である. A 君のはじめの所持金は

 100 - 50 = 50

円である.

【問】

はじめに, 兄と弟がもっている鉛筆の本数の比は 7:5 でしたが, 兄が友達から鉛筆を 12 本もらい, 弟は友達に鉛筆を 4 本あげたので, 兄と弟の鉛筆の本数の比は 12: 7 になりました. はじめに兄がもっていた鉛筆の本数を求めなさい.

(解)

友達から  12 本もらった後の兄の鉛筆の本数を基準数とする.

兄が鉛筆を 12 本もらい, 弟が鉛筆を

 \displaystyle{ 12  \times \frac{5}{7} = \frac{60}{7 }}

本もらえば, 弟の鉛筆の本数は (基準数の) 5/7 倍のままであるが, 実際は 4 本あげたので, 弟の鉛筆の本数は (基準数の) 7/12 倍になった. したがって

 \displaystyle{  \frac{60}{7} + 4= \frac{88}{7 }}

本が (基準数の)

 \displaystyle{ \frac{5}{7} - \frac{7}{12} = \frac{60}{84} - \frac{49}{84}=  \frac{11}{84 }}

倍に相当する. したがって, 基準数 (12 本もらった後の兄の鉛筆の本数) は,

 \displaystyle{ \frac{88}{7}  \div  \frac{11}{84} = \frac{88}{7}  \times  \frac{84}{11} = 96}

本で, はじめの兄の鉛筆の本数は,

 96 - 12 = 84

本となる.

【問】

A 中学と B 中学の受験者数の比は  4 :5 で, 合格者数はそれぞれ 120 人と 180 人, 不合格者数の比は 5 : 6 でした. A 中学の受験者数を求めなさい.

(解)

A 中学の不合格者数を基準数とする.

A 中学の合格者数が 120 人で, B 中学の合格者数が

 \displaystyle{  120  \times  \frac{5}{4} = 150}

人ならば, B 中学の不合格者数は基準数の 5/4 倍のままである. ところが, B 中学の合格者数が 180 人だったので, B 中学の不合格者数は (基準数の)  6/5 倍である.

 180 -150 = 30

人が (基準数の)

 \displaystyle{ \frac{5}{4}  - \frac{6}{5}= \frac{1}{20}}

倍にあたるので, 基準数 ( A 中学の不合格者数) は,

 \displaystyle{ 30  \div  \frac{1}{20} = 600}

人である. A 中学の入学者数は不合格者数と合格者数をあわせて,

 120 + 600 = 720

人である.

【問】

川に沿った A 町と B 町の間を船で往復したところ, 上りと下りにかかった時間の比は, 5:3 でした。上りの速さが時速 15 Km のとき, 川の流れの速さを求めなさい.

(解)

上りの速さ, 時速 15 Km を基準数とする.

A 町と B 町の距離は変わらないから, 上りと下りの速さの比は上りと下りにかかった時間の逆比である. つまり, 下りの速さは (基準数の) 5/3 倍である. 下りの速さと上りの速さの差は, (基準数の)

 \displaystyle{ \frac{5}{3}  - 1 = \frac{2}{3}}

倍である. すると川の流れの速さは, (基準数の)

 \displaystyle{ \frac{2}{3}  \div  2 = \frac{1}{3} }

倍である. したがって、川の流れの速さは時速

 \displaystyle{ 15 \times \frac{1}{3}  = 5}

Km である.

【問】

A, B 間を行きは時速 40 Km, 帰りは時速 60 Km で走ります. このとき, 往復の平均の速さは時速何 Km になりますか.

(解)

AB の間を往復する距離は行きの距離の 2 倍である. AB の間を往復するのにかかる時間は, 行きにかかる時間の

 \displaystyle{ 1 +  \frac{40}{60}  =  \frac{5}{3}}

倍である. したがって往復の平均の速さは, 行きの速さの

 \displaystyle{ 2 \div \frac{5}{3}  = \frac{6}{5} }

倍である. 行きの時速は 40 Km だから, 往復の平均の速さは時速

 \displaystyle{ 40 \times \frac{6}{5}  = 48 }

Kmである.

【問】

何人かの子どもにあめを配ります. 1 人に  5 個ずつ配ると 10 個余り,  7 個ずつ配ると 4 個不足する. 子どもの人数とあめの個数を求めなさい.

(解)

子供に  5 個ずつ配ったあめの合計を基準数とする。

子供 1 人に  7 個ずつ配るとあめの数は (基準数の) 7/5 倍必要である。

 10 + 4 = 14

個が、 (基準数の)

 \displaystyle{  \frac{7}{5}  - 1 =  \frac{2}{5}}

倍に相当するから, 基準数 (子供に  5 個ずつ配ったあめの合計) は,

 \displaystyle{ 14 \div  \frac{2}{5}  =  35}

個である. したがって, 子どもの数は

 \displaystyle{ 35 \div  5=  7}

人で, もともとのあめの個数は

 35 + 10 = 45

個である.

【問】

ある駅伝大会では, 参加チームそれぞれにお菓子とみかんの個数の比が 7:5 になるように配ると, お菓子は 5 個, みかんは  2 個余る予定でした. ところが, 参加チームが増えたため, お菓子とみかんの個数の比を  3:2 にして配ったところ, お菓子は 1 個, みかんは 6 個余りました. お菓子は全部で何個ありますか.

(解)

参加チームに配ったお菓子とみかんの合計数は前と後で変わらない. そこで, 参加チームに配ったお菓子とみかんの合計数を基準数とする.

はじめにお菓子は, (基準数の) 7/12 倍参加チームに配った. 次にお菓子は, 参加チームに基準数の 3/5 倍配った. お菓子

 5 - 1 = 4

個が、(基準数の)

 \displaystyle{ \frac{3}{5} - \frac{7}{12}  =  \frac{36}{60} - \frac{35}{60} 
=  \frac{1}{60} }

倍に相当するから, 基準数 (参加チームに配ったお菓子とみかんの合計数)は、

 \displaystyle{ 4 \div \frac{1}{60}  = 240 }

個である. 最初に参加チームに配ったお菓子の数は,

 \displaystyle{ 240 \times \frac{7}{12}  = 140 }

個で, お菓子は 5 個あまったから, お菓子は全部で

 140 + 5 = 145

個あった.

【問】

一定量の水がわき出ている井戸の水をポンプですべてくみ出すのに, ポンプ 4 台では  8 時間かかり,  6 台では  4 時間かかります. ポンプ 10 台では何時間かかりますか.

(解)

ポンプ 1 台で 1 時間かけてくみ出せる水の量を基準数とする.

ポンプ  4 台で  8 時間かけて汲み出した水の量は (基準数の) 32 倍, 6 台で4 時間かけて汲み出した水の量は (基準数の) 24 倍である. したがって, 1 時間に湧き出る水の量は, (基準数の)

 \displaystyle{ (32-24) \div (8-4)  = 2 }

倍である. 最初に井戸にあった水の量は, 基準数の,

 6 \times 4 - 2 \times 4  = 16

倍であるから, ポンプ

 10 - 2 = 8

台では,

 16 \div 8 = 2

時間かかる.