年の文理共通問題. どういう誘導なのかよくわからないまま解いてしまった. の条件があると はもっと簡単に解けるということなのだろうか. を証明するために無駄な条件がある気がする. ただ, 中学の数学で出てくる「平行四辺形の対角線の交点を通る任意の直線…

年の京大入試問題は, 文系と理系で出題内容が少し違っていることに気がつく. 最初の方が文系の問で, こちらは「重心」, 次は理系でこちらは「外心」である. どちらも同じようなものであり, まとめて考える. 【解】 四面体の各頂点から対面に下ろした 本の垂…

年の京大入試問題 (文理共通) に次のような問題がある.この問題はただ解くだけだとつまらない. 『バン () の定理』と呼ばれ「四面体のすべての面の面積が等しくなるのは等面四面体に限る」という内容の典雅な定理がある. もし, この定理を認めるならば京大の…

年の文理共通問題. まず, 直前の記事を確認して欲しい.【問】 【解】 この問題の場合が簡単なのは, の外心 に立てた垂線上に があり, の外心 に立てた垂線上に があることである. なぜなら だからである. と が相似であることを利用して を求めることにする.…

次のことを幾何学的に証明しておこう. 球面は, 中心の位置と半径が与えられていれば描けるのだった. 同一平面上にない 点を通る球面をただ一つ作ることができる. ※ 年の京都大学の入試問題 (理系) にまったく同じ内容の問題が出題されている.//【証明】同一…

年理系の問題だが, これも以前にやった証明をちょっと変えるだけである.【問】 【解】 四面体 の重心を とし, , の重心をそれぞれ , とする. また, の中点を とする. と が相似であることから, と は平行で, である. したがって, と も相似であり, である.下…

面角についての定理を つ前の記事で紹介した. 与えられた つの平面角が つの 面角を作るための必要条件については, 以前の旧制中学の学習雑誌の記事に証明が書いてあるが, ここでは十分条件であることの証明をあげておきたい. 高校数学でしばしば役にたたな…

年理科後期. これは, 前問までに分かったことを使えばあっという間に解ける.【解】 (1) 前の記事の図を下にそのまま流用させてもらって, , , とし, 直方体の辺の長さを , , とすれば, 問の の長さは の長さに他ならない. から,したがって,※ は鋭角三角形なの…

京都大学の有名な入試問題に, を鋭角三角形とする。このとき、各面すべてが に合同な四面体が存在することを証明せよ。 というのがある. という訳でもないが, 前の記事の問題は, 等面四面体の問題だったので, その図を使って直方体へ四面体を埋め込んだ図を…

年理科の入試問題から. いままでの延長で解ける. ところで, 秋山武太郞先生の本を読むとコンパスのことが「兩脚器」と書いてあった.【問】 【解】 (1) 展開図を書くと の つの辺 (, , ) の中点を結んだものが になっている. 垂線の足 は, 前の記事でやったよ…

高校数学 (数 ) の参考書にあった問題.【問】 , , , である四面体 において, 頂点 から平面 に下ろした垂線 の長さを求めよ.【解】これも展開部分図を書いて垂線の足 がどこにあるか, 作図するのが早いだろう. 展開図の状態で, 四面体の頂点に相当する , か…

年京都大学理系甲の問題である. 空間ベクトルで解くのが普通だろうが, (馬鹿らしいので) 敢えて使わずに高校入試問題的に解いてみる. ※ 中学の段階では「ねじれ」の位置にある 直線 (交わらずかつ平行でもない 直線) の成す角のことをちゃんと教えないが, こ…

同一法による証明の例. 下の図のように直角三角形 の斜辺 の中点を とするならば というのをわざわざ同一法を使って証明してみる. 円周角は中学 年生にならないと習わない. (ただ, 平行四辺形の特別な場合である長方形の対角線を考えればすぐにわかることで…

熊本大学の入試問題らしい.【問】 図の直方体において, 辺 , , , の中点をそれぞれ , , , とするとき, 次のことを証明せよ. 線分 , は同一平面上にある. 上の平面と線分 との交点は の中点である.【証明】 1) 辺 , の中点をそれぞれ , とする. 平面 において…

某私立高校の 年度の入試問題【問】 下図は, 辺の長さが の正三角形 面と 辺の長さが , , の直角二等辺三角形 面でできる六面体の一部である.(1) 残りの 面を解答用紙に記入せよ. (2) この六面体の体積を求めよ. (3) この六面体において, 点 , 間の距離を求…