東大入試問題から - ノリの悪い日記

$2010$ 年理科の入試問題から. いままでの延長で解ける. ところで, 秋山武太郞先生の本を読むとコンパスのことが「兩脚器」と書いてあった.

【問】

【解】
(1) 展開図を書くと $\triangle C_1C_2C_3$ の $3$ つの辺 ( $C_1C_2 = 2\sqrt{7}$ , $C_2C_3=6$ , $C_3C_1 = 4$ ) の中点を結んだものが $\triangle OAB$ になっている. 垂線の足 $H$ は, 前の記事でやったように, $C_1$ から辺 $OA$ , $C_2$ から辺 $AB$ , $C_3$ から辺 $OB$ に下ろした垂線の交点であり, $\triangle C_1C_2C_3$ の垂心である.

$C_1I = x$ とおいて,

$(2\sqrt{7})^2 -x^2 = (6)^2 - (4-x)^2$

から, $x =1$ で

$C_1I: IC_3= 1:3$ .

$C_3G = y$ とおいて,

$(2\sqrt{7})^2 -(6-y)^2 = (4)^2 -y^2$

から, $y =2$ . したがって,

$C_3G: GC_2= 1:2$ .

天秤法により,

$C_1H: HG= 1:2$

と求まる. したがって,

$\displaystyle{ \overrightarrow{OH} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OC_1} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OG}}$

であるが, あとは $\overrightarrow{OC_1}$ と $\overrightarrow{OG}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す計算をひたすらやれば,

$\displaystyle{ \overrightarrow{OH} = \frac{5}{9}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}}$

となる.

$(2)$ まず切り口の平面が, 頂点 $C$ を含むときがすぐに作図できる. 他のところの切り口は、この切り口に平行である ( $3$ つの平行平面は, これに交わるどんな直線も同じ比に分けるという定理がある. これは平行 $2$ 平面を第 $3$ の平面で切れば, その $2$ つの交線は平行であるということと, 平面幾何の平行線の比例の定理からの帰結である).