逆の証明 (三面角の存在条件)

$3$ 面角についての定理を $2$ つ前の記事で紹介した. 与えられた $3$ つの平面角が $1$ つの $3$ 面角を作るための必要条件については, 以前の旧制中学の学習雑誌の記事に証明が書いてあるが, ここでは十分条件であることの証明をあげておきたい. 高校数学でしばしば役にたたないと揶揄される「三垂線の定理」の練習問題のような証明となっている.

与えられた $3$ つの平面角が $1$ つの $3$ 面角を作るために必要十分な条件は, そのいずれの平面角も他の $2$ つの和よりも小で, かつ $3$ つの平面角の和が $2\pi$ よりも小であることである.

【十分条件であることの証明】

$3$ つの平面角を $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ とし, そのうち, 最大のものを $\beta$ とする. 下の図のように, 点 $O$ を中心とする任意半径の円周上に, $\angle FOD = \alpha$ , $\angle DOE = \beta$ , $\angle EOG= \gamma$ となるように点 $D$ , $E$ , $G$ をとる.

$\alpha + \beta + \gamma < 2\pi$

であるから, $G$ は $F$ を追い越すことはない.

点 $F$ から直線 $OD$ に垂線を下ろし, その足を $A$ , 円周とのもう一つの交点を $D'$ とする. 同様に, 点 $G$ から直線 $OE$ に垂線を下ろし, その足を $B$ , 円周とのもう一つの交点を $G'$ とする. そうすると中心角が等しいことから, 弧 $DF$ と弧 $DF'$ は等しい長さで, 弧 $EG$ と弧 $EG'$ は等しい長さである. また, $\angle DOE$ は最大角であるから, $F'$ , $G'$ は $\angle DOE$ の内側にある. さらに, 与えられた条件より,

$\alpha + \gamma > \beta$

だから, 弧 $DF$ と弧 $EG$ の長さの和は, 弧 $DE$ の長さよりも大きい. したがって, 弧 $DF'$ と弧 $EG'$ の長さの和は, 弧 $DE$ の長さよりも大きい. このことから, 直線 $FF'$ と直線 $GG'$ は円の内側で交わる. その交点を $H$ とする.

$H$ から円を含む平面に対して垂線を立てる. $H$ は円の内側にあるので, $BC = BG$ であるような点 $C$ を $H$ に立てた垂線上にとれる.

$\triangle BOG \equiv \triangle BOC$ である. なぜなら, $BG = BC$ , $BO$ は共通の長さであり, 平面 $CBH$ と $OB$ は垂直から $\angle OBC = 90^\circ= \angle OBG$ となるからである.

さらに $\triangle AOC \equiv \triangle AOF$ である. なぜなら, 平面 $CAH$ と $OA$ は垂直から $\angle OAC = 90^\circ= \angle OAF$ と直角三角形であり, $\triangle BOG \equiv \triangle BOC$ から $OG =OC$ なので $OG = OF$ と斜辺の長さが等しく $OA$ が共通となるからである.