面角についての定理を
つ前の記事で紹介した. 与えられた
つの平面角が
つの
面角を作るための必要条件については, 以前の旧制中学の学習雑誌の記事に証明が書いてあるが, ここでは十分条件であることの証明をあげておきたい. 高校数学でしばしば役にたたないと揶揄される「三垂線の定理」の練習問題のような証明となっている.
与えられた
つの平面角が
つの
面角を作るために必要十分な条件は, そのいずれの平面角も他の
つの和よりも小で, かつ
つの平面角の和が
よりも小であることである.
【十分条件であることの証明】
つの平面角を
,
,
とし, そのうち, 最大のものを
とする. 下の図のように, 点
を中心とする任意半径の円周上に,
,
,
となるように点
,
,
をとる.
であるから, は
を追い越すことはない.
点 から直線
に垂線を下ろし, その足を
, 円周とのもう一つの交点を
とする. 同様に, 点
から直線
に垂線を下ろし, その足を
, 円周とのもう一つの交点を
とする. そうすると中心角が等しいことから, 弧
と弧
は等しい長さで, 弧
と弧
は等しい長さである. また,
は最大角であるから,
,
は
の内側にある. さらに, 与えられた条件より,
だから, 弧 と弧
の長さの和は, 弧
の長さよりも大きい. したがって, 弧
と弧
の長さの和は, 弧
の長さよりも大きい. このことから, 直線
と直線
は円の内側で交わる. その交点を
とする.
から円を含む平面に対して垂線を立てる.
は円の内側にあるので,
であるような点
を
に立てた垂線上にとれる.
である. なぜなら,
,
は共通の長さであり, 平面
と
は垂直から
となるからである.
さらに である. なぜなら, 平面
と
は垂直から
と直角三角形であり,
から
なので
と斜辺の長さが等しく
が共通となるからである.
以上より, ,
,
となり, この三角面は与えられた条件を満たすものである.
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