空間の外心 - ノリの悪い日記

次のことを幾何学的に証明しておこう. 球面は, 中心の位置と半径が与えられていれば描けるのだった.

同一平面上にない $4$ 点を通る球面をただ一つ作ることができる.

※ $2011$ 年の京都大学の入試問題 (理系) にまったく同じ内容の問題が出題されている.//

【証明】

同一平面上にない $4$ つの点を $A$ , $B$ , $C$ , $D$ とする. $4$ つの点は同一平面上にないので, $\triangle ABC$ と $\triangle BCD$ は, 同一平面上にはない.

$\triangle ABC$ の外心を $O'$ とし, $\triangle BCD$ の外心を $O''$ とする. 外心 $O'$ , $O''$ からそれぞれ $BC$ に垂線を下ろすと, 両者の垂線の足は $BC$ の中点で一致する. その中点を $E$ とする.

直線 $O'E$ と $O''E$ は点 $E$ で交わっているから, この $2$ 直線を含む平面がただ一つ定まる. この平面を $\alpha$ とする.

直線 $BC$ は, 直線 $O'E$ とも直線 $O''E$ とも垂直だから, その $2$ 直線を含む平面 $\alpha$ と垂直である. 平面 $ABC$ は, 直線 $BC$ を含んでいるので, 平面 $\alpha$ と垂直である. 平面 $BCD$ も, 直線 $BC$ を含んでいるので, 平面 $\alpha$ と垂直である.

すると, 平面 $ABC$ に垂直になるよう $O'$ において立てた垂線は, 平面 $\alpha$ に含まれ, 平面 $BCD$ に垂直になるよう $O''$ において立てた垂線も平面 $\alpha$ に含まれている. つまり $2$ つの垂線は同一平面上にある. またこの $2$ つの垂線は必ず交る. なぜなら , $2$ 面角 $\angle O'EO''$ ( $\alpha$ 上の角でもある) は $180^\circ$ よりも小さく, 二つの垂線は平行ではないからである. その $2$ 垂線の交点を $O$ とする.

$O'$ から立てた垂線上の任意の点から, 点 $A$ , $B$ , $C$ までの距離はみな等しい (三角形の合同を使って容易に証明できる). また, $O''$ から立てた垂線上の任意の点から, 点 $B$ , $C$ , $D$ までの距離はみな等しい. ゆえに,
$O$ から点 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ までの距離はみな等しい.

したがって, $O$ を中心として, 半径が $OA$ の球面上に他の $3$ 点 $B$ , $C$ , $D$ もある.

※ 外心 $O'$ または $O''$ が $E$ に一致することも考えられる. $O'$ と $O''$ の両方が $E$ に一致する場合は, 明らかに $E$ が $4$ 点を通る球面の中心である. $O'$ のみが $E$ に一致する場合, $O'\ (= E)$ に立てた平面 $ABC$ の垂線は $BC$ に垂直なのだから, その垂線と $O''E$ を含む平面を $\alpha$ とすればよい. $O''$ のみが $E$ に一致する場合も同様である.//