次のことを幾何学的に証明しておこう. 球面は, 中心の位置と半径が与えられていれば描けるのだった.
同一平面上にない
点を通る球面をただ一つ作ることができる.
※ 年の京都大学の入試問題 (理系) にまったく同じ内容の問題が出題されている.//
【証明】
同一平面上にない つの点を
,
,
,
とする.
つの点は同一平面上にないので,
と
は, 同一平面上にはない.
の外心を
とし,
の外心を
とする. 外心
,
からそれぞれ
に垂線を下ろすと, 両者の垂線の足は
の中点で一致する. その中点を
とする.
直線 と
は点
で交わっているから, この
直線を含む平面がただ一つ定まる. この平面を
とする.
直線 は, 直線
とも直線
とも垂直だから, その
直線を含む平面
と垂直である. 平面
は, 直線
を含んでいるので, 平面
と垂直である. 平面
も, 直線
を含んでいるので, 平面
と垂直である.
すると, 平面 に垂直になるよう
において立てた垂線は, 平面
に含まれ, 平面
に垂直になるよう
において立てた垂線も平面
に含まれている. つまり
つの垂線は同一平面上にある. またこの
つの垂線は必ず交る. なぜなら ,
面角
(
上の角でもある) は
よりも小さく, 二つの垂線は平行ではないからである. その
垂線の交点を
とする.
から立てた垂線上の任意の点から, 点
,
,
までの距離はみな等しい (三角形の合同を使って容易に証明できる). また,
から立てた垂線上の任意の点から, 点
,
,
までの距離はみな等しい. ゆえに,
から点
,
,
,
までの距離はみな等しい.
したがって, を中心として, 半径が
の球面上に他の
点
,
,
もある.
//
※ 外心 または
が
に一致することも考えられる.
と
の両方が
に一致する場合は, 明らかに
が
点を通る球面の中心である.
のみが
に一致する場合,
に立てた平面
の垂線は
に垂直なのだから, その垂線と
を含む平面を
とすればよい.
のみが
に一致する場合も同様である.//