ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

東大入試問題から (2)

立体幾何初歩

1996 年理科後期. これは, 前問までに分かったことを使えばあっという間に解ける.

【解】
(1) 前の記事の図を下にそのまま流用させてもらって, OC = a, CB = c, CA = b とし, 直方体の辺の長さを CA'=x, CB' = y, CO' = z とすれば, 問の PQ の長さは z の長さに他ならない.

x^2 + y^2 = a^2
y^2 +z^2 = b^2
z^2 +x^2 = c^2

から,

\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 =\frac{1}{2}(a^2 + b^2 + c^2)}

したがって,

\displaystyle{z = \sqrt{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}}}

※ \triangle ABC は鋭角三角形なので, b^2 + c^2 - a^2 > 0 が成立する.//

(2) 求める体積を V とすると,

s^2 = (a^2+ b^2 + c^2)/2

とおいて,

\displaystyle{V \\=xyz - 4\cdot\frac{xyz}{6} \\= \frac{1}{3}xyz \\=\frac{1}{3} \sqrt{(s^2-a^2)(s^2-b^2)(s^2 -c^2)} }

//