年の問題である. で, は の外心だから, である. 中点連結定理より, は, とも とも垂直なので, は平面 と垂直である. したがって, は常に である. このことから, の面積が最小になるのは, の長さが最小となるときであることがわかる. そして, それは が と垂…

年の問題である. 時間があるときは面白い問題である. 時間がないときは……。【解】 (1) (2)-①下の展開部分図で,である. ひし形 の面積を基準にとり, ひし形の面積を 倍とすると, の面積はその 倍であり, の面積は,倍である. したがって, (2)-②下の断面図で, …

2022 年度である. 問 (2) は, すでに灘中の問題で出てきたように, 等体積の二つの三角錐に分割して求めるのが簡便だろう. 灘中の問題の場合はどちらの三角錐で体積を計算しても手間は変わらなかったが, こちらは変わるなあ. しかし, 空間図形の問題を捨てる…

年度の問題.【問】 下の図のように 辺が の立方体 があります. この立方体の対角線 上に, となる点 をとります. このとき, 次の問に答えなさい. と が相似であることを証明しなさい. 線分 の長さを求めなさい. つの点 , , , を頂点とする立体の体積を求めな…

秋山武太郎の『わかる幾何學 立體篇』(昭和 七年) をパラパラと見ていたら, かなりの内容が, 以前感心したので紹介した昭和七年創刊の旧制中学生向けの学習雑誌の記事の内容とかぶっていることに気がついた. あの記事の内容は, 『わかる幾何學 立體篇』がベ…

ネットを見ていたら, 下図において, 側面がすべて長方形の三角柱で, , , , のとき, 点 から, 平面 に下ろした垂線の長さを求めよという問題があった.普通に三角錐の体積から求めれば良いのだが, 別解といわれる方法がどうもしっくりこないので, じゃあ自分だ…

年の入試問題である.【問】 【解】 ① 四角錐を点 , , を含む平面で切断して, 三角すい , の体積の和として求めればよいが, どちらも同じ体積なので, 片方の体積のみ求めて 倍すればよい. 答えは ② 求めるものは四角すい の体積である. 同じようにして, 三角…

ドゥルーズの『差異と反復』の「思考のイマージュ」に倣って, 中学数学が真に開始することができないのは, その開始が「すべての人は空間というものを知っている」という暗黙の前提 (ドグマ) に立っているからだ. と, 思わず呟いてしまいたくなるのは, 以下…

年度の空間図形の問題. 太字にしたところは, 前の記事の垂直条件とともに空間図形の問題を解くときには常に頭においておくべき最低限のものである. なお, 最後の 3) - ② は正答率 % とある. 【解】 (1)-① (1)-② から,これを解いて のものをとると,(2) という…

年の数学の問題である. こういった立体図形の問題を解くのに「立体感覚」が必要だと言うのは真っ赤な嘘だと思っている.【解】(ア) 答えは 番.(イ) 展開図より得られる立体は三角すいだと問題文に書いている. と は直交している. は に重なるのだから, 三角す…

どのくらいの時間で自分は 桁 × 桁の乗算を暗算できているのか, 調べてみたくなって Ninimaths というアプリを使って寝起きでない時間に測ってみたら平均 15 秒前後だった. 計算の訓練はしておらず, 計算の工夫だけなのでこんなものだろう. 結局わかったこと…

計算の適用範囲を更にひろげるために, 前回の つの基本パターンをもう少し拡張しておこう. といっても大した話しではなく, 「二つの数字の和が になる」の の部分に と の場合も加えるだけである. ただし, と の場合は, 残り つの同じ数字が偶数であることが…

ここでは, もっと実用的な側面で考察する. ここで述べる方法を使用すると, 詳しくは数えあげていないが, 過半数の二桁×二桁のかけ算を簡略にできる (暗算向き).まず, 基本知識として以下の つをあげる.1) のように の位の数字が同じで, の位の数字の和が に…

のように の位の数字が同じで, の位の数字の和が になる場合は簡単に計算ができた. これは, 計算結果の の位が, と簡単になる (キリがよくなる) からである. そうすると, のように の位の数字が同じで, の位の数字の和が にならない場合は, なので, として, …

大きな数のかけ算は, 基本的に筆算などしないことにしているが, 計算機科学のカラツバ法はときどき遊びでやってみることがある.たとえば, を計算するのにしたがって,かけ算の結果を使いまわして, かけ算を 回だけ実行すれば良いのがポイントなのだ. これくら…