ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

東大入試問題から (3)

立体幾何初歩

2001 年の文理共通問題. まず, 直前の記事を確認して欲しい.

【問】

【解】
この問題の場合が簡単なのは, \triangle ABC の外心 O' に立てた垂線上に D があり, \triangle ABD の外心 O'' に立てた垂線上に C があることである. なぜなら

AD = BD= CD =2
AC = BC = DC =2

だからである. \triangle DOO'' と \triangle DEO' が相似であることを利用して r = DO を求めることにする.

\displaystyle{DE = \sqrt{2^2-(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{\sqrt{13}}{2}}

\triangle ABC と \triangle ABD の面積 S は,

\displaystyle{S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} = \frac{\sqrt{39}}{4}}

これから, 外接円の半径 R=DO''=CO' は, (\displaystyle{R = \frac{abc}{4S}} の公式を用いて)

\displaystyle{ R = \frac{2\cdot2\cdot\sqrt{3}\cdot4}{4\sqrt{39} }= \frac{4}{\sqrt{13}}}

\displaystyle{DO' = \sqrt{2^2 - (4/\sqrt{13})^2} = \frac{6}{\sqrt{13}}}

したがって,

\displaystyle{r:\frac{\sqrt{13}}{2} =\frac{4}{\sqrt{13}}:\frac{6}{\sqrt{13}}}

から,

\displaystyle{r = \frac{\sqrt{13}}{3}}

となる.


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※ 2016 年の京大理系の問題は, 解答を書く気にならない程簡単である. これをベクトルで解くのだろうか. まさか……

【問】

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