ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

垂線の長さと足の位置

高校数学 (数  B) の参考書にあった問題.

【問】
 \angle AOB = \angle AOC = 60^\circ,  \angle BOC = 90^\circ,  OB = OC = 1,  OA = 2 である四面体  OABC において, 頂点 O から平面  ABC に下ろした垂線 OH の長さを求めよ.

【解】

これも展開部分図を書いて垂線の足 H がどこにあるか, 作図するのが早いだろう. 展開図の状態で, 四面体の頂点に相当する  O,  O' から, それぞれ  CB,  AB に垂線を下ろし, その垂線の交点を  H とすれば, これが立体の状態で O から平面  ABC に下ろした垂線の足の位置である. ついでに垂線  OH の長さも作図で求めてみると,  H の位置から  OA に直交する線を引いて,  M を中心とする半径  MO の円を描いて交点  O'' を求めれば,  HO'' が求める垂線の長さである.

なぜなら, 最初の立体図で, 平面  OMH BC に垂直で, したがって, MH は,  BC に垂直であり, また, 平面  OBH AB に垂直で, したがって, BH AB に垂直となって,  H MH BH の交点だが, この二つの直線は展開図上では, それぞれ直線  OM, O'B と一致するからである.

 \triangle BMA \triangle HMB が相似であることを利用して  HM の長さを求めることにする.

 AB = \sqrt{3},  \displaystyle{BM = \frac{\sqrt{2}}{2}}

から,

 \displaystyle{AM = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right )^2}= \frac{\sqrt{10}}{2}}

 HM: MB = BM: MA
 HM:  \sqrt{2}/2 = \sqrt{2}: \sqrt{10}

したがって,

 \displaystyle{HM = \frac {\sqrt{10}}{10}}

である.

 \displaystyle{O''M =OM = \frac{\sqrt{2}}{2}}

なので,

 \displaystyle{O''H = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 -  \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right )^2}= \frac{\sqrt{10}}{5}}

以上から, 四面体  OABC において, 頂点 O から平面  ABC に下ろした垂線 OH の長さは,  \displaystyle{\frac{\sqrt{10}}{5}} である.
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次は, 2013 年の東北大の問題.

【問】
四面体 OABC において,  OA = OB = OC =1 とする.  \angle AOB = 60^\circ,  \angle BOC=45^\circ とし,  \vec{a} = \overrightarrow{OA},  \vec{b} = \overrightarrow{OB},  \vec{c} = \overrightarrow{OC} とおく. 点 C から平面 OAB に垂線を引き, その交点を H とする.

(1)   \overrightarrow{OH} \vec{a} \vec{b} を用いて表せ.

(2) 垂線  CH の長さを求めよ.

(3) 四面体  OABC の体積を求めよ.

【解】
(1) および (2)

前問と同じく下のように展開部分図を作成し, 垂線の足  H を求める (D の隣の点).  \triangle OEH \triangle ODB は相似なので,

 OH: OE =OB: OD
 OH: \sqrt{2}/2 =1: \sqrt{3}/2

したがって,  OH = \sqrt{6}/3

 OH: OD =  \sqrt{6}/3:  \sqrt{3}/2 = 2\sqrt{2}:3

\displaystyle{  \overrightarrow{OD} =  \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})}

だから,

\displaystyle{  \overrightarrow{OH} =  \frac{\sqrt{2}}{3}(\vec{a} + \vec{b})}

また,

 \displaystyle{CH= \sqrt{1^2- \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{3}}

(3)

 \displaystyle{\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}= \frac{1}{12}}