垂線の長さと足の位置 - ノリの悪い日記

高校数学 (数 $B$ ) の参考書にあった問題.

【問】
$\angle AOB = \angle AOC = 60^\circ$ , $\angle BOC = 90^\circ$ , $OB = OC = 1$ , $OA = 2$ である四面体 $OABC$ において, 頂点 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線 $OH$ の長さを求めよ.

【解】

これも展開部分図を書いて垂線の足 $H$ がどこにあるか, 作図するのが早いだろう. 展開図の状態で, 四面体の頂点に相当する $O$ , $O'$ から, それぞれ $CB$ , $AB$ に垂線を下ろし, その垂線の交点を $H$ とすれば, これが立体の状態で $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の足の位置である. ついでに垂線 $OH$ の長さも作図で求めてみると, $H$ の位置から $OA$ に直交する線を引いて, $M$ を中心とする半径 $MO$ の円を描いて交点 $O''$ を求めれば, $HO''$ が求める垂線の長さである.

なぜなら, 最初の立体図で, 平面 $OMH$ は $BC$ に垂直で, したがって, $MH$ は, $BC$ に垂直であり, また, 平面 $OBH$ は $AB$ に垂直で, したがって, $BH$ は $AB$ に垂直となって, $H$ は $MH$ と $BH$ の交点だが, この二つの直線は展開図上では, それぞれ直線 $OM$ , $O'B$ と一致するからである.

$\triangle BMA$ と $\triangle HMB$ が相似であることを利用して $HM$ の長さを求めることにする.

$AB = \sqrt{3}$ , $\displaystyle{BM = \frac{\sqrt{2}}{2}}$

から,

$\displaystyle{AM = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right )^2}= \frac{\sqrt{10}}{2}}$

$HM: MB = BM: MA$
$HM: \sqrt{2}/2 = \sqrt{2}: \sqrt{10}$

したがって,

$\displaystyle{HM = \frac {\sqrt{10}}{10}}$

である.

$\displaystyle{O''M =OM = \frac{\sqrt{2}}{2}}$

なので,

$\displaystyle{O''H = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right )^2}= \frac{\sqrt{10}}{5}}$

以上から, 四面体 $OABC$ において, 頂点 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線 $OH$ の長さは, $\displaystyle{\frac{\sqrt{10}}{5}}$ である.
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次は, $2013$ 年の東北大の問題.

【問】
四面体 $OABC$ において, $OA = OB = OC =1$ とする. $\angle AOB = 60^\circ$ , $\angle BOC=45^\circ$ とし, $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$ , $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$ , $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$ とおく. 点 $C$ から平面 $OAB$ に垂線を引き, その交点を $H$ とする.