高校数学 (数 ) の参考書にあった問題.
【問】
,
,
,
である四面体
において, 頂点
から平面
に下ろした垂線
の長さを求めよ.
【解】
これも展開部分図を書いて垂線の足 がどこにあるか, 作図するのが早いだろう. 展開図の状態で, 四面体の頂点に相当する
,
から, それぞれ
,
に垂線を下ろし, その垂線の交点を
とすれば, これが立体の状態で
から平面
に下ろした垂線の足の位置である. ついでに垂線
の長さも作図で求めてみると,
の位置から
に直交する線を引いて,
を中心とする半径
の円を描いて交点
を求めれば,
が求める垂線の長さである.
なぜなら, 最初の立体図で, 平面 は
に垂直で, したがって,
は,
に垂直であり, また, 平面
は
に垂直で, したがって,
は
に垂直となって,
は
と
の交点だが, この二つの直線は展開図上では, それぞれ直線
,
と一致するからである.
と
が相似であることを利用して
の長さを求めることにする.
,
から,
したがって,
である.
なので,
以上から, 四面体 において, 頂点
から平面
に下ろした垂線
の長さは,
である.
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次は, 年の東北大の問題.
【問】
四面体 において,
とする.
,
とし,
,
,
とおく. 点
から平面
に垂線を引き, その交点を
とする.
(1) を
と
を用いて表せ.
(2) 垂線 の長さを求めよ.
(3) 四面体 の体積を求めよ.
【解】
(1) および (2)
前問と同じく下のように展開部分図を作成し, 垂線の足 を求める (
の隣の点).
と
は相似なので,
したがって,
だから,
また,
(3)