某私立高校の 年度の入試問題
【問】
下図は, 辺の長さが
の正三角形
面と
辺の長さが
,
,
の直角二等辺三角形
面でできる六面体の一部である.
(1) 残りの 面を解答用紙に記入せよ.
(2) この六面体の体積を求めよ.
(3) この六面体において, 点
,
間の距離を求めよ.
【解】
(1) 落ち着いて問題文を読むと, 残り 面は, 直角二等辺三角形だとわかる.それと, 正三角形の部分だけ見ると正四面体の展開図の一部である.
※ には
が重なり,
には
が重なる.
(2) 四面体が つくっ付いた形なので, それぞれ計算して合計すればよい.
(3) 対称面で切断すると,
だから,
から
に垂線を下ろしその足を
とすると,
また,
だから, と
は合同. よって, 四角形
は長方形となる.
,
だから,
//
※ は,
が平面
と垂直であることが分かれば (それぞれの三角すいの頂点
,
から
に下ろした垂線の足が, 両方とも
の垂心に一致するから),
の結果を使って,
より,
と求めることもできる. 垂線の足が, の垂心である証明を三角錐
についてだけ行っておくと,
は平面
に垂直だから,
と
は垂直である.
から平面
に下ろした垂線の足を
とすれば,
は
と垂直である. したがって
は平面
と垂直であるから,
は,
と垂直である. 同様にして,
は,
と垂直なので,
は
の垂心である.//