展開図 - ノリの悪い日記

某私立高校の $2012$ 年度の入試問題

【問】
下図は, $1$ 辺の長さが $\sqrt{2}$ の正三角形 $3$ 面と $3$ 辺の長さが $1$ , $1$ , $\sqrt{2}$ の直角二等辺三角形 $3$ 面でできる六面体の一部である.

(1) 残りの $1$ 面を解答用紙に記入せよ.
(2) この六面体の体積を求めよ.
(3) この六面体において, $2$ 点 $A$ , $F$ 間の距離を求めよ.

【解】
(1) 落ち着いて問題文を読むと, 残り $1$ 面は, 直角二等辺三角形だとわかる.それと, 正三角形の部分だけ見ると正四面体の展開図の一部である.

※ $E$ には $D$ が重なり, $F$ には $G$ が重なる.

(2) 四面体が $2$ つくっ付いた形なので, それぞれ計算して合計すればよい.

$\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot (\sqrt{2})^3}+ \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$

(3) 対称面で切断すると,

$PE = PA$ だから, $P$ から $EA$ に垂線を下ろしその足を $T$ とすると,

$ET = FP = \sqrt{2}/2$

また,

$\angle {EFP } = \angle {ETP} = 90^\circ$

だから, $\triangle ETP$ と $\triangle EFP$ は合同. よって, 四角形 $ETPF$ は長方形となる.

$AE = \sqrt{2}$ , $EF= 1$

だから,

$AF = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$
//

※ $(3)$ は, $AF$ が平面 $EBC$ と垂直であることが分かれば (それぞれの三角すいの頂点 $A$ , $F$ から $\triangle EBC$ に下ろした垂線の足が, 両方とも $\triangle EBC$ の垂心に一致するから), $(2)$ の結果を使って,

$\begin{align} \frac{1}{3}\cdot\triangle EBC \cdot AF &= \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AF \\&=\frac{1}{2} \end{align}$

より,

$AF = \sqrt{3}$

と求めることもできる. 垂線の足が, $\triangle EBC$ の垂心である証明を三角錐 $F-EBC$ についてだけ行っておくと, $CF$ は平面 $EFB$ に垂直だから, $CF$ と $EB$ は垂直である. $F$ から平面 $EBC$ に下ろした垂線の足を $Z$ とすれば, $FZ$ は $EB$ と垂直である. したがって $EB$ は平面 $CFZ$ と垂直であるから, $EB$ は, $CZ$ と垂直である. 同様にして, $BZ$ は, $CE$ と垂直なので, $Z$ は $\triangle EBC$ の垂心である.//