何題か基本問題で練習してみる.【例題 1】 [解] したがって, //【例題 2】 [解] ()とおくと, したがって, //【例題 3】 [解] ()とおくと, //【例題 4】 [解] ()とおくと, したがって, //※ あるいは, から, 例題 3 の結果を使って //【例題 5】 [解] とおくと…

高校数学の積分計算をすっきり行うための必要事項をすでに述べたことも含めて以下にまとめておく. 逆三角関数 , が全単射となるよう, として, 逆双曲線関数 , が全単射となるよう, として, 三角関数の倍角の公式 (次数下げ) 基本関数の微分 部分分数分解実数…

積分計算で, 三角関数の積を和に変えることが必要になることがあるが, 三角関数の積和公式は覚える必要はないし, 必要でもないので, 導出するだけ時間の無駄である.前回の記事で双曲線関数がそうであったように, と は同値なのだから, 後は加法定理を知って…

双曲線関数 , は, オイラーの公式と似ている,で定義された関数である. は,で定義される.である. これから,もすぐにわかる. 後は双曲線関数の加法定理,で, の符号が三角関数と違うことだけ覚えておけばよい. その他の公式は, 三角関数同様, すべてこれらから…

逆関数の積分というのは, 次のようなからくりになっている.求める逆関数の積分をとする. で置換積分することを考える. すると, だから,であり, したがって,となる. これを部分積分すると,となる. (定積分で面積計算するときなど, この式が役立つことがある. …

他のやり方はあるが, 根号の中が, の 次の分数式なので, とおいて解く (積分範囲は, から までに変わる). から, で置換して, したがって, //※ この積分は次のようにして, 部分積分により計算できる. 気づけばこちらの方が簡単である. //※ が全単射になるよう…

三角関数の有理式を積分する場合に, とおくのは有名だが, 計算がやや煩雑になるなので最後の手段で使うべきである. 前の記事 でもそうだったが, まず置換積分ができないか検討するのは, よい方略だと思う.たとえば, 不定積分,のような場合,だから, となって,…

下の図で, 平面 と直線 は垂直であるということをベクトルや座標を使わずに, 証明してみる. つの異なる平面が異なる 点を共有していれば, その つの平面は, その 点を通る直線を交線として含む. いま点 と を考え, その つの点を共に含む平面の中に, と があ…

東京都立高校 2017 年入試問題から. 簡単な問題だけれども, 立体の問題をきちんと説明するのは難しい.問 を含む切断面を求めるために, を通る の平行線 をひくと, は, 平面 上にある. 理由は前にも述べたように, と平行線を含む平面は, を含むが, と を含む…

最近, 長々と数 の積分計算のやり方を教えていたのだが, せいぜい つぐらい計算すれば, 高校数学範囲内で必要な積分の計算の仕方が全部説明できるような例題セットはないのかなあと感じた.そう思っていたら, ネット動画に次の積分を紹介している人がいて, こ…

の因数分解をするのに, 平方完成すればよいという解説があって, それはその通りだなあと思ったんだけど, 別解として, いわゆる「とってがけ」の逆をやる方法があるんではないだろうかと思った. は でも でも割れ, したがって で割れるから, つの数の最大公約…

例題をやっておく. 私立武蔵高校の 1980 年入試問題らしい.【問】 図のように三角柱 があり, , , である. 直線 の延長上に, となる点 をとる. 線分 の中点を とし, 線分 と平面 の交点を とする. このとき, 線分 の長さを求めよ.【解】線分 を含んでいる, 直…

前の記事の関連で, 以下のような 点を含む平面 (もちろん平面はただ一つに決まる) による立方体の切断平面を決定する手順を考えてみる.まず, 点を結ぶしかない. 切断平面は, この 点を通る直線 ( とする) と直線外の点を含む平面である.一番手前の赤丸が存在…

斜軸回転体の体積を求める有名問題だが, 計算したことがないので, 計算してみる. 立方体の平面による切断面は中学受験から大学受験まで大活躍である. 積分計算自体は, 数 範囲のものである. (実際, 京大は文理共通問題として出題している.) 【問】座標空間内…

これって, 思わず無駄な計算をしそうになる.【問】 次方程式 の つの解がともに正の整数となるような の値をすべて求めよ. 更に, その の値のそれぞれに対する方程式 の解を求めよ.[解] つの整数解を , ( とする) とおくと, 解と係数の関係から,したがって,…