これも余事象を使って解いた方が手っ取り早い.【問】 の 次方程式が, の範囲にただ つの実数解をもつ条件を求めよ.【解】 まず, 少なくとも つの実数解をもつ条件を求める.判別式,から, , が得られる.とおいて, 解をもたない かつ *1 の余事象 または を求め…

参考書の解答が嫌なので……【問】 放物線 上に 点 , をとる. が の範囲を動くとき, 線分 が通過する領域を図示せよ.【解】 線分 上の点を とすると, は, 直線 上にあることから,で , 端点が , より のとりえる範囲は,であることから, かつ,である. 以上の条件…

フォイエルバッハの定理の反転法による証明. この証明を理解するための必要な準備は, いままでの記事で終わっている. 反転の説明は, 記事 でしておいた. また, 以下の証明では, 記事 でやった反転と調和点列の関係を使うので, もう一度あげておく., , , を調…

Overleaf を使わせてもらって, テキストを作るのに忙しかったのでブログは暫くお休みしていた.記事 () を書いてから, その後を書いていなかった. 記事 () では以下の証明まで終わっている. の内心を とする. また の外接円の半径を , 内接円の半径を とする.…

前回の記事でオイラー線に触れたので九点円の証明もやっておく.前回の結果から, , , の各辺の中点を結んだ は, 重心 を中心に相似比 で と相似の位置にある. の外接円の半径を とすれば, の外接円の半径は, で, その中心の位置 は, オイラー線上にあり, であ…

前回の記事の最後に引き続いて, 相似変換 (中心相似) の応用を少しやってみる.定円 内に定点 をとり, を通る弦 を引いて とせよ, という作図問題を考えてみる.作図の解析をするために, 条件をみたす弦 が引けたと考えると, を相似の中心として, , であるから…

以前, 反転を使ってトレミーの定理を証明したが, もう少し簡単な証明にする.準備として, 下図で, から,で, 角度を共有するので, と は相似である. したがって,であるが, なので,となる.//上で求めた結果を使ってトレミーの定理を証明する. だから,両辺に を…

初等数学において論理的思考力や発見力や創造力をつけるということは, ほとんど幾何を学ぶことと同値であるみたいな意見をいろいろと読んでいると, じゃあ幾何は呆け予防にもなるのかなあと, 不図思ってしまう.前回記事の算額の別解を反転 *1 を用いて与えて…

せっかくの機会なので, 前の記事の松山市伊佐爾波神社へ, 明治 (酉) 年、当時 歳だった高阪金次郎が奉納した算額を計算してみることにする. 作図のために, 途中までの計算はやったので, 後はなんとかなるだろう.解答の中で の値が必要になるので先に求めてお…

現在, どのくらい丁寧に教えられているかは知らないが, 作図題の「解析」という考え方は, 思わぬときに参考となるかもしれない*1. ここで使われている「解析」は広い意味で「総合」に至る前過程としていわれているもので, 今ではこの意味で「解析」という言…

つの定円と つの定直線に接する円は一般に つ描ける. 採用面接にも使われたことがあるそうな. 前の記事にも書いたけれど, 実際に作図していなかった.後は「反転」*1 を使って, 反転の中心を通る二つの円は直線に変換され, それに内接する小円は等円に変換さ…

少し間があいたが, 記事 の続き. では, 基本的な,「 点を通り 本の直線に接する円」と「 点を通り つの円に接する円」の つの作図の類型を見た. 与えられた同一直線にはない 点を通る円は, 点の外心を求めればよく, また与えられた 直線が 点で交わらず, ど…

作図の練習中. なるべく簡単なものからと思い正三角形に円を内接させてみた. これは簡単で, 正三角形の内心を求めて, つできる三角形から内心をまたそれぞれ求めれば, すぐに作図できる.この図に後 つ同じ円が入る. 円に内接する円を描くのも, そんなに難し…

平成 年度神奈川県公立高校入試問題. 何ということはない問題である. しかし, 別解を思いつかなかった. 一つだけ見つけて, 結構役に立ちそうなこともわかったので, メモしておく. 円に内接する 角形の対角線が直交するならば, 組の対辺の長さの平方和は, 外…

方べきの定理とその逆を使うと, 作図に便利なことがある. 特に, ここで扱う作図題で重要なのは, の辺 の延長上の 点を とするとき, ならば, 直線 は, 円 に接する. ということである.まずは, 基本的な例題. 与えられた 点を通り, 与えられた直線に接する円を…