三角形の面積を求めるヘロンの公式で, 三角形の周の長さに関連して と置いているが, こう として置くことはヘロンの公式以外でも便利である. の内接円が , , と接する点を とする. だから, たとえば,である. すると, という, 覚えるのが簡単な式ができる.傍…

円周角に関連して次の つの性質はよく知られている.i) 円の 弦 と が 円の内部の点 において交わるときは, は, に等しい弧の上に立つ円周角に等しい.【証明】 となるように, 円周上に点 をとれば, である. したがって, となる.//ii) 円の 弦 と が 円の外部…

年のセンター試験, 数 の問題. なんか, 公式の計算練習のような問題で, わざわざやって損したような気分. 【解】 方べきの定理より,したがって,メネラウスの定理から,なので,である. したがって,だから, これを解いて,となる. 余弦定理より, から、 の内接円…

簡単な問題.円 に内接する の頂点 から辺 に垂線を下ろし, 垂線の足を とする. また線分 を延長し再び円周と交わる点を とする. と は相似だから,したがって,である.※ , , , とすれば, から,である. (もっともこの式は, に正弦定理を適用すればすぐ出る.) と…

ニュートンの定理 (下記) の証明.四辺形 の辺 と の延長線の交点を とし, 辺 と の延長線の交点を とする. 辺 の中点 , 辺 の中点 , の中点 は同一直線上にある.※ 直線 を四角形 の「ニュートン線」という.メネラウスの定理より,の中点を , の中点を , の中…

誰でも知っている物理学者が, 小学生のときにしたといわれるピタゴラスの定理の証明はよく紹介される. それは直角三角形の直角である角 から対辺 に垂線を下ろしてその足を とすれば, , , のどの つも互いに相似であることと, であることから導くものである.…

バラ科シモツケソウ属。それ以上の区別はいまだにできない。 バイカウツギ。 複素数を使って初等幾何を扱う練習. 以下断らない限り, 平面は複素平面で, 円は単位円である.上図で異なる点を , , , として と が平行である必要条件を求めてみる. と が平行であ…

アプリで図が簡単に書けるようになったので, 幾何の問題は面白いなあ.【問】一辺の長さ の正二十面体を考える. この正二十面体に外接する球の半径 を求めよ. この正二十面体の体積を求めよ.【解】 正二十面体の中心 を含む平面で左右対称に切ると上図のよう…

調和点列はいろいろなところに現れる.台形 の対角線の交点を とし, 辺 と の延長の交点を とする. と , の交点をそれぞれ , とする. そうすると, 点列 , , , は調和点列である.なぜなら, から, から, から, から,故に,したがって点列 , , , は調和点列である…

以前やった *1 年の京都大学の文理共通の入試問題だが, 複比の練習問題としてもう一度やる.【問】 平行四辺形 において, 辺 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を とする. 線分 と線分 の交点を とし, 線分 を延長した直線と辺 …

【問】 の辺 の中点を とし, を直径とする円と辺 の交点をそれぞれ とする. においてこの円にひいた接線の交点を とすれば, である.【証明】下図のように を延長し, 極線 との交点を , 円周とのもう一つの交点を とする. すでに前の記事で証明したように は…

記事 では, 点列 , , , が調和点列であることを示すのに, メネラウスの定理とチェバの定理を使ったが, ここでは他のやり方で示すことを考える. 直線上に 点 , を定め, 線分 を内分または外分する点 の分割比 と線分 を内分または外分する点 の分割比 につい…

前の記事の続き. 極と極線については, もう少し準備がいる.円 について点 が「互いに共軛である」とは, 極 の極線上に極 があり, の極線上に極 があることをいう.前の記事の図を見ればそうではないかと想像できる次の事実は共軛に関して基本的である.点 , が…

ホオノキ。一年以上前も記事で、かつて同じ町内に住んでいた唐木順三が昭和三十二年に書いた文章を紹介したことがある (随筆集「朴の木」所収)。 ここには朴の木が多い。あの木も私はすきである。すくすくと素直に延びてゆくのがすきである。筆の穂先のよう…

調和点列について.線分 が点 と によってそれぞれ同じ比で内分, 外分されたとき, つまりのとき, , は を「調和に分ける」と言い, 点 , , , を調和点列という. 調和点列を表わすのに, 記号 あるいは を使うことがある.すぐにわかるように (比の内項を交換すれ…