ネットを見ていたら, 下図において, 側面がすべて長方形の三角柱で, , , , のとき, 点 から, 平面 に下ろした垂線の長さを求めよという問題があった.
普通に三角錐の体積から求めれば良いのだが, 別解といわれる方法がどうもしっくりこないので, じゃあ自分だったらどう解くのか考えてみた.
まず, は とも とも垂直なので, は, 平面 に垂直である. 平面 は, を含むので, 平面 と平面 は垂直である. 二つの平面の交線は であり, したがって, から平面 に下ろした垂線の長さは, 交線 に下ろした垂線 の長さである.
ところで直線 は平面 に含まれているが, 平面 と平面 の交線は, 直線 である. 直線 と直線 は平行である. つまり, 直線 は平面 と共有点を持たないので, 直線 と平面 は平行である. したがって, 点 から平面 に下ろした垂線の長さは, の長さに等しい.
だから,
で, 点 から平面 に下ろした垂線の長さは
である.
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