ネットを見ていたら, 下図において, 側面がすべて長方形の三角柱で, ,
,
,
のとき, 点
から, 平面
に下ろした垂線の長さを求めよという問題があった.
普通に三角錐の体積から求めれば良いのだが, 別解といわれる方法がどうもしっくりこないので, じゃあ自分だったらどう解くのか考えてみた.
まず, は
とも
とも垂直なので,
は, 平面
に垂直である. 平面
は,
を含むので, 平面
と平面
は垂直である. 二つの平面の交線は
であり, したがって,
から平面
に下ろした垂線の長さは, 交線
に下ろした垂線
の長さである.
ところで直線 は平面
に含まれているが, 平面
と平面
の交線は, 直線
である. 直線
と直線
は平行である. つまり, 直線
は平面
と共有点を持たないので, 直線
と平面
は平行である. したがって, 点
から平面
に下ろした垂線の長さは,
の長さに等しい.
だから,
で, 点 から平面
に下ろした垂線の長さは
である.
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