ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

都立日比谷高校入試問題から

立体幾何初歩 中学数学

2020 年の問題である.

AB = 6\sqrt{2} で, D は \triangle OAB の外心だから, OD = 3\sqrt{2} である. 中点連結定理より,

\displaystyle{OF = \frac{3\sqrt{2}}{2}}

OA は, OBとも OC とも垂直なので, OA は平面 OBC と垂直である. したがって, \angle AOG は常に 90^\circ である. このことから, \triangle OAG の面積が最小になるのは, OG の長さが最小となるときであることがわかる. そして, それは OG が BC と垂直のときである. なぜなら, G が BC 上の他の位置にあるとき, その点を G' とすれば, \triangle OGG' は, 直角三角形となるが, 直角三角形の最大辺は直角の対辺である斜辺 OG' となるからである (他の 2 角は鋭角である).

10 \cdot OG = 6 \cdot 8

より,

\displaystyle{ OG = \frac{24}{5}}

したがって,

\displaystyle{ \triangle OAG = \frac{1 }{2} \cdot 6 \cdot \frac{24}{5} = \frac{72}{5} \ (\rm{cm^2}) }

となる.

下の図のように, O を相似の中心として, J が AB 上の点 J' の位置にくるよう相似変換する (そのためには, IJ と I'J', JH と J'H' がそれぞれ平行であるように作図すればよい). OI: OH = 5:4 だから,

OH': H'A = OH': OI' =4:5

である. したがって,

\displaystyle{OH' = 6 \cdot \frac{4}{9} = \frac{8}{3}}

OJ: OJ' = OH: OH' = 3:4

平面 COJ' と平面 CAB の交線は, CJ' であり, K はこの線上の点である. KJ は, CO と平行だから,

KJ : CO= JJ': OJ' = 1:4

したがって,

\displaystyle{ KJ = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2}

である. これから,

\displaystyle{V = \frac{1}{3}\cdot 18 \cdot 2 = 12}

KJ は平面 COA に平行だから, K から平面 COA に下ろした垂線の長さは JH = IO = 5/2 である.

\displaystyle{W= \frac{1}{3}\cdot 24 \cdot \frac{5}{2} = 20}

以上より,

V: W = 12:20 = 3:5

となる. //