ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

埼玉県公立高校入試問題から

立体幾何初歩 中学数学

2017 年度の問題.

【問】
下の図のように 1 辺が 6 \ \rm{cm} の立方体 ABCD-EFGH があります. この立方体の対角線 AG 上に, \angle AIF = 90^\circ となる点 I をとります. このとき, 次の問に答えなさい.

(1) \triangle AGF と \triangle AFI が相似であることを証明しなさい.
(2) 線分 FI の長さを求めなさい.
(3) 4 つの点 A, F, I, C を頂点とする立体の体積を求めなさい.

【解】
(1)
点 A, F, G はひとつの平面を決定する. GF \perp FE, GF \perp BF から, GF は平面 ABFE に垂直である. したがって, \angle GFA = 90^\circ である. 仮設より, \angle AIF = 90^\circ である. ゆえに,

\angle GFA = \angle AIF

となる. \angle FAG は共通角で等しい. 2 組の角が等しいので, \triangle AGF と \triangle AFI は相似である.

(2)

AG = \sqrt{6^2 + 6^2 + 6^2} = 6\sqrt{3}

AG\cdot FI = FG\cdot AF

だから,

\displaystyle{FI = \frac{6 \cdot 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}}

答えは, 2\sqrt{6} \ \rm{cm} である.

(3)

2 つ前の記事で示したのと同様にして, BC は, 平面 AFG に平行である. したがって, 三角錐 C - AFI の体積は, 三角錐 B-AFI の体積に等しい.

AF に I から下ろした垂線 IP の長さを求める (平面 AFG は FG を含んでいるので, 平面 ABFE に垂直である). 相似三角形の面積比から,

AI: IG = AF^2: GF^2 = 2:1

したがって,

\displaystyle{IP = 6 \times \frac{2}{3} = 4}

\triangle ABF = 18

だから, 求める体積は,

\displaystyle{IP = \frac{1}{3} \times 18 \times 4 = 24}

答えは, 24 \ \rm{cm^3} である. (つまり, 三角錐 G-ABF の 2/3 の体積である.) //