ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

埼玉県公立高校入試問題から

2017 年度の問題.

【問】
下の図のように 1 辺が 6 \ \rm{cm} の立方体  ABCD-EFGH があります. この立方体の対角線  AG 上に,  \angle AIF = 90^\circ となる点  I をとります. このとき, 次の問に答えなさい.

(1)  \triangle AGF \triangle AFI が相似であることを証明しなさい.
(2) 線分  FI の長さを求めなさい.
(3) 4 つの点  A,  F,  I, C を頂点とする立体の体積を求めなさい.

【解】
(1)
 A, F,  G はひとつの平面を決定する.  GF \perp FE,  GF \perp BF から,  GF は平面  ABFE に垂直である. したがって,  \angle GFA = 90^\circ である. 仮設より,  \angle AIF = 90^\circ である. ゆえに,

 \angle GFA = \angle AIF

となる.  \angle FAG は共通角で等しい.  2 組の角が等しいので, \triangle AGF\triangle AFI は相似である.

(2)

 AG = \sqrt{6^2 + 6^2 + 6^2} = 6\sqrt{3}

 AG\cdot FI = FG\cdot AF

だから,

 \displaystyle{FI = \frac{6 \cdot 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}}

答えは,  2\sqrt{6} \ \rm{cm} である.

(3)

 2 つ前の記事で示したのと同様にして,  BC は, 平面  AFG に平行である. したがって, 三角錐  C - AFI の体積は, 三角錐  B-AFI の体積に等しい.

 AF I から下ろした垂線  IP の長さを求める (平面  AFGFG を含んでいるので, 平面  ABFE に垂直である). 相似三角形の面積比から,

 AI: IG = AF^2: GF^2 = 2:1

したがって,

 \displaystyle{IP = 6 \times \frac{2}{3} = 4}

 \triangle ABF = 18

だから, 求める体積は,

 \displaystyle{IP =  \frac{1}{3} \times 18 \times 4  = 24}

答えは,  24 \ \rm{cm^3} である. (つまり, 三角錐 G-ABF2/3 の体積である.) //