年度の問題.
【問】
下の図のように 辺が の立方体 があります. この立方体の対角線 上に, となる点 をとります. このとき, 次の問に答えなさい.
と が相似であることを証明しなさい.
線分 の長さを求めなさい.
つの点 , , , を頂点とする立体の体積を求めなさい.
【解】
(1)
点 , , はひとつの平面を決定する. , から, は平面 に垂直である. したがって, である. 仮設より, である. ゆえに,
となる. は共通角で等しい. 組の角が等しいので, と は相似である.
(2)
だから,
答えは, である.
(3)
つ前の記事で示したのと同様にして, は, 平面 に平行である. したがって, 三角錐 の体積は, 三角錐 の体積に等しい.
に から下ろした垂線 の長さを求める (平面 は を含んでいるので, 平面 に垂直である). 相似三角形の面積比から,
したがって,
だから, 求める体積は,
答えは, である. (つまり, 三角錐 の の体積である.) //