ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

福島県公立高校入試問題から

立体幾何初歩 中学数学

2019 年の問題である. 時間があるときは面白い問題である. 時間がないときは……。

【解】
(1) 6\sqrt{3} \ (\rm{cm})
(2)-①

下の展開部分図で,

OR: RM = \triangle OAD : \triangle MAD

である. ひし形 OABC の面積を基準にとり, ひし形の面積を 1 倍とすると,

\displaystyle{\triangle OAD} の面積はその \displaystyle{\frac{1}{4}} 倍であり, \displaystyle{\triangle MAD} の面積は,

\displaystyle{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}- \frac{1}{8} = \frac{3}{8}}

倍である. したがって,

OR: RM = 2:3

(2)-②

下の断面図で,

\triangle OQA: \triangle OQM = 4:5
\triangle OQA: \triangle MQA = 2:3

だから,

\triangle OQA: \triangle OQM : \triangle MQA = 4:5:6

したがって,

OQ:QP \\=( \triangle OQA + \triangle OQM): \triangle MQA \\= 3:2

である. 正四面体 O-ABC の体積は,

\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot 12^3 = 144\sqrt{2}}

三角錐 Q-PBC は, 正四面体 O-ABC に対して底面積が 5/9 倍, 高さが 2/5 倍だから,

\displaystyle{144\sqrt{2}\times \frac{5}{9} \times \frac{2}{5} = 32\sqrt{2}}

答えは, 32\sqrt{2} \ \rm{cm^3} である.


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