年東大理科. 容易に設問の意図がつかめず, 誘導であるはずの の不等式をどう使うのか, あれこれ悩まされる問題となっている. まず, この問題をやる前に, 次のことを理解するとよいかもしれない (余計わからなくなるかもしれないが……).たとえば, , の計算を同…

同じく, 年東大理科の問題. 積分計算だけの問題はホッとする. すでに数 積分については解説済みなので, ここでは計算だけする. この問題は, つの計算の中にいろいろな側面が入っているので, 記事 の問題に続き, 積分計算練習問題セットの 問目だなあ. 【問】…

年東大理科の問題. 問題文が短くてよいし, さして難しくない. (ピタゴラス数とか知っていれば, 法 で考えることはすぐに思いつく.)【問】 を 以上の整数とする. と の最大公約数 を求めよ. は整数の 乗にならないことを示せ.【解】 だが, は法 で または に…

年東大理科後期の問題.【解】円 の方程式を円 の方程式をとする. 題意から と は同心円ではないとしてよい. 平面上の点 について, 円 , の方べきが等しくなるときの軌跡を求める. つまり,これを整理すると,となり, 軌跡は直線となる. 点 , は, 円 , 双方の円…

単なる連立方程式の問題. いきなり解を求めるのではなく, 同次式にしてまず比例式 (連比) を求めるというのは, ありがちである. 比例式が求まってしまえば, あとは定石通り. ちなみに超初歩的だが, は かつ かつ と同値だが, たとえば, と があれば, は自動…

簡単な問題だが, 昔から入試によく取り上げられる. 年, 京大の問題. なお, 与えられた 点を通り, 一本の直線に接する円の作図方法は, 記事 に示しておいた. 一般に円は つ描ける. 【問】 を正の実数とする. 座標平面上の 点 , , をとり, を考える. の値が変…

前の記事の続き.有理数 (, , は自然数で互いに素) の連分数展開,で, 第 近似 は, から, , となる.第 近似 は, から, , となる.第 近似 は, 第 近似の を に置き換えればよいから,から, , となる. のとき, 第 近似 をと仮定すると, 第 近似 は, 第 近似の を …

次方程式の整数解を求めるやり方として, 共通テストで出題されるような簡単な問題は, 合同式で求めた方が早いと思うが, そうでない場合は, 連分数で求めることにしている. 不定方程式 の整数解 (特殊解) を見つけたかったら, を連分数展開して, の直前の近似…

ずっと前 *1 に, 次の問題 ( 年東大文理共通) をやったことがあるけれども, 別解に気がついた. この問題は, フィボナッチ数列に関係している.【問】 は正の整数とする。 を で割った余りを とおく。 数列 は を満たすことを示せ。 に対して、 は ともに正の…

年東大文理共通問題. 要するに連分数に関係した問題である. は答が黄金比と白銀比に関連している. は有理数の連分数がユークリッド互除法と同値であることを示せばよい.【問】 実数 の小数部分を, かつ が整数となる実数 のこととし, これを記号 で表す. 実…

有限増分定理は, 森毅の著作 「現代の古典解析」で知った. 彼が訳したディユドネの「現代解析の基礎」では, 平均値の定理として「有限増分定理」を紹介している. ディユドネは, 平均値の定理の真価は等式にあるのではなく, 不等式にあるのだ. と書いている. …

最初の問は, 黄金比 を使って計算量を減らせる問題. とか の三角比は入試にはそれなりに出題されている. これはたしか東大の入試問題だったと思う. 【問】 , とおく. このとき, 以下のことが成り立つことを示せ. および は有理数である. 任意の自然数 に対し…

年の京大理系の問題.【問】 与えられた自然数 に対し, 数列 を , によって定める. ただし実数 に対し, は を超えない最大の整数を表す. および のとき, 数列 を求めよ. すべての自然数 に対し, 次の つの不等式 , が成り立つことを示せ. ならば, 以上のすべ…

過去の入試問題から. 解いてから, すでに以前の記事で紹介済みであることに気がついた. 【問】 整数 に対し とおき, と定める. ただし, は虚数単位を表す. このとき, が任意の に対して成り立つような正の整数 をすべて求めよ.【解】 は, 任意の について整…

気分を変えて, 過去の大学入試問題から.【問】 , は自然数で は定数とする. 平面上の点 を頂点とし, 原点と点 を通る放物線を考える. この放物線と 軸で囲まれる領域の面積を , この領域の内部および境界線上にある格子点の数を とする. このとき極限値を求…