ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (245)

同じく, 2019 年東大理科の問題. 積分計算だけの問題はホッとする. すでに数  \mathrm{III} 積分については解説済みなので, ここでは計算だけする. この問題は,  1 つの計算の中にいろいろな側面が入っているので, 記事  (222) の問題に続き, 積分計算練習問題セットの 2 問目だなあ.

【問】

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【解】
 \displaystyle{I_1 = \int_{0}^{1}x^2dx = \frac {1}{3}}


 \displaystyle{I_2 = \int_{0}^{1} \frac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}
dx }

 x = \sinh t とおいて,

 \displaystyle{I_2
\\= \int_{0}^{\mathrm{arsinh}\ 1} \frac{\sinh^3 t}{\cosh^2 t}dt
\\= \int_{0}^{\mathrm{arsinh}\ 1} \left(\sinh t -\frac{\sinh t}{\cosh^2 t}\right)dt}
 \displaystyle{
=\left[\cosh t + \frac{1}{\cosh t}\right]_0^{\log(1+\sqrt{2})}
\\=\frac{3\sqrt{2}}{2} -2
}


 \displaystyle{I_3
\\= \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
dx 
\\=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{(1+x^2)'}{\sqrt{1+x^2}} dx
\\=\left[\sqrt{1+x^2}\right]_0^{1}
\\= \sqrt{2} -1
}


 \displaystyle{
I_4
\\= \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1+x^2)^2}
dx 
\\=-\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x\left( \frac{1}{1+x^2} \right)'dx }
 \displaystyle{
= -\frac{1}{2}\left[\frac{x}{1+x^2} -\arctan x \right]_0^{1}
\\= -\frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}
}


以上より求める定積分は,

 \displaystyle{
I_1 + I_2 + I_3 + I_4
\\= \frac {1}{3} + \frac{3\sqrt{2}}{2} -2
\\ \quad + \sqrt{2} -1-\frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}
\\= -\frac{35}{12} + \frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{8}
}
//