陥没地帯 (245) - ノリの悪い日記

同じく, $2019$ 年東大理科の問題. 積分計算だけの問題はホッとする. すでに数 $\mathrm{III}$ 積分については解説済みなので, ここでは計算だけする. この問題は, $1$ つの計算の中にいろいろな側面が入っているので, 記事 $(222)$ の問題に続き, 積分計算練習問題セットの $2$ 問目だなあ.

【問】

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【解】
$\displaystyle{I_1 = \int_{0}^{1}x^2dx = \frac {1}{3}}$

$\displaystyle{I_2 = \int_{0}^{1} \frac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} dx }$

$x = \sinh t$ とおいて,

$\displaystyle{I_2 \\= \int_{0}^{\mathrm{arsinh}\ 1} \frac{\sinh^3 t}{\cosh^2 t}dt \\= \int_{0}^{\mathrm{arsinh}\ 1} \left(\sinh t -\frac{\sinh t}{\cosh^2 t}\right)dt}$
$\displaystyle{ =\left[\cosh t + \frac{1}{\cosh t}\right]_0^{\log(1+\sqrt{2})} \\=\frac{3\sqrt{2}}{2} -2 }$

$\displaystyle{I_3 \\= \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx \\=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{(1+x^2)'}{\sqrt{1+x^2}} dx \\=\left[\sqrt{1+x^2}\right]_0^{1} \\= \sqrt{2} -1 }$

$\displaystyle{ I_4 \\= \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx \\=-\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x\left( \frac{1}{1+x^2} \right)'dx }$
$\displaystyle{ = -\frac{1}{2}\left[\frac{x}{1+x^2} -\arctan x \right]_0^{1} \\= -\frac{1}{4} + \frac{\pi}{8} }$

以上より求める定積分は,

$\displaystyle{ I_1 + I_2 + I_3 + I_4 \\= \frac {1}{3} + \frac{3\sqrt{2}}{2} -2 \\ \quad + \sqrt{2} -1-\frac{1}{4} + \frac{\pi}{8} \\= -\frac{35}{12} + \frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{8} }$
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