作図の練習中. なるべく簡単なものからと思い正三角形に円を内接させてみた. これは簡単で, 正三角形の内心を求めて, つできる三角形から内心をまたそれぞれ求めれば, すぐに作図できる.この図に後 つ同じ円が入る. 円に内接する円を描くのも, そんなに難し…

平成 年度神奈川県公立高校入試問題. 何ということはない問題である. しかし, 別解を思いつかなかった. 一つだけ見つけて, 結構役に立ちそうなこともわかったので, メモしておく. 円に内接する 角形の対角線が直交するならば, 組の対辺の長さの平方和は, 外…

方べきの定理とその逆を使うと, 作図に便利なことがある. 特に, ここで扱う作図題で重要なのは, の辺 の延長上の 点を とするとき, ならば, 直線 は, 円 に接する. ということである.まずは, 基本的な例題. 与えられた 点を通り, 与えられた直線に接する円を…

数 で, 与えられた交わる 円の交点ともう一点, (同一直線上にはない) 別の点を通る円の方程式を求める問題で, 「円束」*1 を使って解くやり方があるが, それがなぜ円の方程式になるかという大変良い質問をされて, 計算する羽目になった. これは, 初等幾何的…

ある人が学ぶことが, どんどん貧しくなっている下のような具体例を挙げてくれていて, なるほどなと思った.その人は, 自分だったら「連続した つの偶数の積は, の倍数であることを証明せよ」とノーヒントで出すとも言っているが, この発言にも共感できる. 自…

図形ばかり続いたので, たまには, 整数をやる. 京大の2010年.【問】次の問に答えよ. を正の整数, とする. は, で割り切れるが, では割り切れないことを示せ. を正の偶数とする. が で割り切れるならば または, であることを示せ.【解】 は, 数学的帰納法で証…

この問題は, まっとうに解いた方が早いなあ. やりたくないけど……【問】 点 を中心とする円に内接する四角形 において, , , , とする. と をそれぞれ, と を用いて表わせ.【解】 から に垂線を下ろして, その足を とする. 問題の仮設より,なので, である. し…

【問】 絵具を使って正四面体の各面に色を塗る方法について, 次の問に答えよ. ただし, 正四面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす. また, すべての面に同じ色を塗る方法を含める. 色の絵具のセットから絵具を選んで色を塗る方法は何通りあるか. 色の…

前回の 年度の神奈川県公立高校入試問題の続き.【問】 図のように長方形 があり, 辺 の中点を とする. また辺 上に点 を となるようにとり, 辺 上に を線分 と線分 が垂直に交わるようにとる. さらに線分 と線分 の交点を とする. , のとき, 線分 の長さを求…

年度の神奈川県公立高校入試問題をやってみる. 正解率は だそうである. 別解 はなかなか気づかなかった.【問】 図のように長方形 があり, 辺 の中点を とする. また辺 上に点 を となるようにとり, 辺 上に を線分 と線分 が垂直に交わるようにとる. さらに…

塾で, こんな問題があった.【問】 において , とする. 辺 の中点を , 辺 を に内分する点を , 辺 を に内分する点を , 線分 と線分 の交点を とするとき, を , で表せ.もちろん, 普通 (だが, 普通とはなにか？) のやり方で解けば良い*1のだが, を幾何で求め…

正方形 の辺 上の点を とし, 直線 が直線 と交わる点を とすれば, である.線分 の中点を とすると,であるから, であることを示せばよい. そのために, で が鈍角であることを示せばよい. は直角三角形 の斜辺の中点なので, は二等辺三角形 であり, したがって…

前の記事の続き. 過去の入試問題から.【問】 三角形 の内部の一点を とするとき, が成り立つことを証明せよ. 長方形 の辺 , 上にそれぞれ点 , をとる. このとき, が成り立つことを証明せよ.【解】 前の記事で証明したので省略する.(誘導問題として残しておい…

つの三角形の不等関係というのは,● 二等辺三角形の底角は等しい. ● 三角形の つの頂点の外角は, 残りの つの頂点の内角の和に等しい.という性質から演繹されるものである. において であることと は同値である. まず, を仮定すると, となるよう, 線分 上に …

塾で小学校三年生に国語を教えていたら、「夕日が背中を押してくる」の詩が出ていた。この曲は個人的に懐かしいなぁ。小学生のとき女子が合唱コンクールでこの曲を歌ったことを思い出した。YouTube で一緒に曲を聞いた。