陥没地帯 (197) - ノリの悪い日記

【問】
絵具を使って正四面体の各面に色を塗る方法について, 次の問に答えよ. ただし, 正四面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす. また, すべての面に同じ色を塗る方法を含める.

$1)$ $2$ 色の絵具のセットから絵具を選んで色を塗る方法は何通りあるか.

$2)$ $3$ 色の絵具のセットから絵具を選んで色を塗る方法は何通りあるか.

$3)$ $4$ 色の絵具のセットから絵具を選んで色を塗る方法は何通りあるか.

$4)$ $10$ 色の絵具のセットから絵具を選んで色を塗る方法は何通りあるか.

【解】

面倒臭い問題なのでまとめて面倒みる.

$k$ 色のどれかの色を一つ使って各面を塗るとする. 回転により立体を不変にする変換を, 正四面体の頂点を $1$ , $2$ , $3$ , $4$ として, 回転による頂点の置換として表せば,

$e$ (恒等置換), つまりなにも回転しない場合の面の塗り方の総数は $k^4$ ,

正四面体の重心と頂点を通る直線 ( $4$ 本ある) を回転軸とした回転を考えたとき, 正四面体を不変とする $120^\circ$ , $240^\circ$ の回転に相当する頂点の置換を巡回置換で書けば.

$(1)(2,3,4)$ , $(1)(2,4,3)$ ,
$(2)(1,3,4)$ , $(2)(1,4,3)$ ,
$(3)(1,4,2)$ , $(3)(1,2,4)$ ,
$(4)(1,2,3)$ , $(4)(1,3,2)$

であり, これらの変換で不変な面の塗り方の総数は, $8k^2$ である.

正四面体の重心と辺の中点を通る直線 ( $3$ 本ある) を軸とした回転を考えたとき, 正四面体を不変とする $180^\circ$ の回転 (下図参照) に相当する頂点の置換を巡回置換 (互換) で書けば,

$(1,2)(3,4)$ , $(1,3)(2,4)$ , $(1,4)(3,2)$

であり, これらの変換で不変な面の塗り方の総数は, $3k^2$ である. (なお、正四面体の場合については, 重心と面の重心を通る直線は, 重心と頂点を通る直線に一致するので, 回転軸として別に考えなくてもよい. 一般の正多面体では、正多面体を不変にする回転で, 正多面体の重心の位置も不変なので, 回転軸は必ず正多面体の重心を通る. 回転軸が立体と交わるのはその頂点か, 辺か, 面のいずれかである. 辺の場合は辺の中点, 面の場合は面の重心でないと回転でそれらの位置が動いてしまう. したがって, 回転軸が, 立体の重心と頂点, 辺の中点, 面の重心をそれぞれ通る場合について順に考察すればよい.)

置換の総数 (正四面体群の位数) は $12$ である. バーンサイドの補題より, 塗り方の総数 $n(k)$ は,

$\displaystyle{n(k) = \frac{k^4 + 11k^2}{12} = \frac{k^2(k^2+ 11)}{12} }$

$1)$ $n(2) = 5$
$2)$ $n(3) = 15$
$3)$ $n(4) = 36$
$4)$ $n(10) = 925$
//

※ 正四面体群の位数がいくつであるかは簡単な問題である. 正四面体 $ABCD$ の頂点 $A$ を考えると, その行き先は $A$ , $B$ , $C$ , $D$ の $4$ 通りある. $A$ の行き先が決まってしまうと, $A$ に隣接する頂点 $B$ の行き先は $3$ 通りしかない. $A$ , $B$ が決まると, 他の頂点はみな決まってしまう. したがって正四面体群の位数は $4 \times 3 = 12$ である. 同様にして, 正六面体群の位数は, $8 \times 3 = 24$ , 正八面体は $6\times 4 = 24$ , 正 $12$ 面体は頂点が $20$ 個あるので $20 \times 3= 60$ , 正 $20$ 面体は頂点が $12$ 個あるので $12 \times 5 = 60$ である.//

※ 同じ $k$ 色を使って面を塗る問題を正六面体でやってみる. 正六面体面体の頂点を $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ として, 回転により立体を不変にする場合の頂点の置換を考えると,

$e$ (恒等置換) で不変となる面の塗り方の総数は $k^6$ ,

正六面体の重心と頂点を通る直線 ( $4$ 本ある) を回転軸とした回転を考えたとき, 正六面体を不変とする $120^\circ$ , $240^\circ$ の回転に相当する頂点の置換を巡回置換で書けば,

$(1)(7)(2,4,5)(3,6,8),$
$(1)(7)(2,5,4)(3,8,6),$
$(2)(8)(1,6,3)(4,5,7),$
$(2)(8)(1,3,6)(4,7,5),$
$(3)(5)(1,8,6)(2,4,7),$
$(3)(5)(1,6,8)(2,7,4),$
$(4)(6)(1,3,8)(2,7,5),$
$(4)(6)(1,8,3)(2,5,7)$

であり, これらの変換で不変な面の塗り方の総数は, $8k^2$ である.

正六面体の重心と辺の中点を通る直線 ( $6$ 本ある) を軸とした $180^\circ$ の回転を考えたとき, 正六面体を不変とする $180^\circ$ に相当する頂点の置換を巡回置換 (互換) で書けば,

$(1,7)(2,3)(4,6)(5,8),$
$(1,7)(2,8)(3,4)(5,6),$
$(1,2)(3,5)(4,6)(7,8),$
$(1,4)(2,8)(3,5)(6,7),$
$(1,7)(3,5)(4,8)(2,6),$
$(1,5)(2,8)(3,7)(4,6)$

であり, これらの変換で不変な面の塗り方の総数は、 $6k^3$ である.

向かい合う面の中心を通る軸 ( $3$ 本ある) の周りの回転は, $90^\circ$ , $270^\circ$ の

$(1,2,3,4)(5,6,7,8),$
$(3,7,8,4)(2,6,5,1),$
$(1,4,8,5)(2,3,7,6),$
$(1,4,3,2)(5,8,7,6),$
$(3,4,8,7)(2,1,5,6),$
$(1,5,8,4)(2,6,7,3)$

の $6k^3$ 通りと, $180^\circ$ の

$(1,3)(2,4)(5,7)(6,8),$
$(3,8)(7,4)(2,5)(6,1),$
$(1,8)(4,5)(2,7)(3,6)$

の $3k^4$ 通りである.

バーンサイドの補題より, 塗り方の総数 $n(k)$ は,

$\displaystyle{\begin{align}n(k) &= \frac{k^6 + 3k^4+12k^3+8k^2}{24} \\ &= \frac{k^2(k+1)(k^3-k^2+4k+8)}{24} \end{align}}$

となる.//

※ 面に番号をつけて, 面の置換で回転対称変換がすらすら書けるようになれば, しめたものである.

正四面体の場合は, まず,恒等変換は

$(1)(2)(3)(4)$ だから $k^4$ 通り(輪構造式は $x_1^4$ , 以下括弧内は輪構造式を表わす).

重心と頂点を結ぶ軸の周りの回転について,

$(1)(2,3,4)$ , $(1)(2,4,3)$ ,
$(2)(1,3,4)$ , $(2)(1,4,3)$ ,
$(3)(1,2,4)$ , $(3)(1,4,2)$ ,
$(4)(1,2,3)$ , $(4)(1,3,2)$

だから $8k^2$ 通り( $8x_1x_3$ ).

重心と辺の中点を結ぶ軸の周りの回転について,

$(1,2)(3,4)$ , $(1,3)(2,4)$ , $(1,4)(2,3)$

だから $3k^2$ 通り( $3x_2^2$ ).

バーンサイドの補題より, 塗り方の総数 $n(k)$ は

$\displaystyle{n(k) = \frac{k^4 + 11k^2}{12} = \frac{k^2(k^2+ 11)}{12} }$

となる (ポリアの定理で, $x_1=x_2=x_3 =k$ としたものに相当する).

正六面体の場合には, 恒等変換は,

$(1)(2)(3)(4)(5)(6)$ だから, $k^6$ 通り( $x_1^6$ ).

重心と頂点を通る軸の周りの回転について,

$(1,2,3)(4,5,6)$ , $(1,3,2)(4,6,5)$ , $(1,2,5)(3,6,4)$ , $(1,5,2)(3,4,6)$ , $(1,3,4)(2,6,5)$ , $(1,4,3)(2,5,6)$ , $(1,4,5)(2,3,6)$ , $(1,5,4)(2,6,3)$

の $8k^2$ 通り( $8x_3^2$ ).

重心と辺の中点を通る軸の周りの回転について,

$(1,2)(3,5)(4,6)$ ,
$(1,3)(2,4)(5,6)$ ,
$(1,4)(3,5)(2,6)$ ,
$(1,5)(2,4)(3,6)$ ,
$(1,6)(2,3)(4,5)$ ,
$(1,6)(2,5)(3,4)$

の $6k^3$ 通り( $6x_2^3$ ).

重心と面の重心を通る軸の周りの回転について、

$(1)(6)(2,3,4,5)$ ,
$(1)(6)(2,4)(3,5)$ ,
$(1)(6)(2,5,4,3)$ ,
$(2)(4)(1,5,6,3)$ ,
$(2)(4)(1,6)(3,5)$ ,
$(2)(4)(1,3,6,5)$ ,
$(3)(5)(1,4,6,2)$ ,
$(3)(5)(1,6)(2,4)$ ,
$(3)(5)(1,2,6,4)$

だから $3k^4+6k^3$ 通り( $3x_1^2 x_2^2+ 6x_1^2x_4$ ).

バーンサイドの補題より, 塗り方の総数 $n(k)$ は,

$\displaystyle{\begin{align}n(k) &= \frac{k^6 + 3k^4+12k^3+8k^2}{24} \\ &= \frac{k^2(k+1)(k^3-k^2+4k+8)}{24} \end{align}}$

となる (ポリアの定理で, $x_1=x_2=x_3 =x_4=k$ としたものに相当する).//

※ 類題.

【問】立方体の各面に, 隣あった面の色は異なるように, 色を塗りたい. ただし, 立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす.
$(1)$ 異なる $6$ 色をすべて使って塗る方法は何通りあるか.
$(2)$ 異なる $5$ 色をすべて使って塗る方法は何通りあるか.
【解】
$(1)$ 異なる $6$ 色すべて使って不変にできるのは, 恒等変換の場合だけである. 塗り方の総数は $6!$ なので, バーンサイドの補題より

$\displaystyle{\frac{6!}{24} = 30}$ 通り.

$(2)$ 異なる $5$ 色すべて使って不変にできるのは, 恒等変換の場合だけである. 隣あった面は異なる色なので, 同色は向かい合う面 ( $3$ 組ある) に配置する必要がある. したがって,

$\displaystyle{\frac{5 \times 3 \times 4!}{24} = 15}$ 通り.
//

【問】
正四面体の各面に色を塗りたい. ただし, 正四面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす.
$(1)$ 異なる $4$ 色すべてを使って塗る方法は何通りあるか.
$(2)$ 異なる $3$ 色すべてを使って塗る方法は何通りあるか. また, $3$ 色のうち使わない色があってもよいとすると, 塗り方は何通りあるか.