ホンアマリリス。ヒメオウギスイセン。 【問】 と を互いに素、すなわち 以外の公約数をもたない正の整数とし、さらに は奇数とする。正の整数 に対して整数 , をを満たすように定めるとき、次の を示せ。ただし、 が無理数であることは証明なしに用いてよい…

シナフジ。ムクゲ。【問】 実数 について、 または は であるための何条件かを答えよ。【解】 かつ であると仮定すると、 である。これと、 から、 である。同じようにして、仮定から、 である。これと、 から、 である。 と から、である。仮定は であった…

ペンステモン。ヤブカンゾウかなあ。【問】 を自然数とする。 を とおくとき、 をみたす整数 について、二項係数 は偶数であることを示せ。 以下の条件をみたす自然数 をすべて求めよ。条件: をみたすすべての整数 について二項係数 は奇数である。 【解】 …

クチナシ。ツユクサ。ムクゲ。ノウゼンカズラ。コンロンカ (崑崙花)。 ヤナギバルイラソウ。【問 1】自然数 に対し、 個の二項係数を考え、これらすべての最大公約数を とする。すなわち、 はこれらすべてを割り切る最大の自然数である。 が素数ならば、 で…

シオカラトンボのメスで、俗にムギワラトンボである。アジサイ (アナベル)。【問】 次方程式 の つの実数解のうち大きいものを , 小さいものを とする。 に対しとおく。 を求めよ。また, に対し, を と で表せ。 以下の最大の整数を求めよ。 以下の最大の整…

百日紅も咲いているけれど、まだ撮影する機会はあるだろうと思って保留。ムクゲ (木槿)。ボタンクサギ。 ヤナギハナガサ。 【問】 を正の実数として整式を考える。すべての正の整数 に対しては整数である。このとき、 は で割り切れることを示せ。 【解】 を…

ベニバナ(紅花)。万葉の時代から末摘花として歌われている。イブキジャコウソウ。タイマツバナ。クララ。名前の由来は眩草 (くららぐさ) がつまったもの。ミソハギ。お盆の花として知られているが、開花期間は長い。アマギアマチャ (天城甘茶) だと思う。ト…

クサキョウチクトウ (オイランソウ)。まだ咲き始めだなあ。【問】 は正の整数とする。 を で割った余りを とおく。 数列 は を満たすことを示せ。 に対して、 は ともに正の整数で、互いに素であることを証明せよ。【解】 とおくと、したがって、 である。 …

クチナシの花。守屋浩が『くちなしの花が咲く頃』という曲を歌っていてその流れで聞いてしまった。僕は泣いちっち【守屋浩】御本人セイヨウニンジンボク。 【問】を満たす正の整数 をすべて求めよ。【解】式の対称性から考えて が最大値であると仮定しても一…

クチナシの花も撮らないといけないなあ。ウチワサボテンの花。ムクゲ。もう少し近くで見たかった。ネムノキ。ストケシア(ルリギク)。キヌタソウ。ハナトラノオ。白花もある。【問】自然数 はどちらも で割り切れないが、 は で割り切れる。このような の組 …

今日は座間の陶芸家のところに行った。斎藤茂吉肉筆の色紙を見せてもらった。書かれているのは、大正 2 年から 6 年までの歌を集めた『あらたま』にある有名な歌である。茂吉はこの歌を好んで色紙に書いたらしい。 ゆふされば大根の葉にふる時雨(しぐれ)いた…

散歩していると道端にコンニャクを見つけた。北関東では珍しくないんだろうけれど、この辺ではあまり目にしない。【問】 のように先頭が で末尾が , 間がすべて である整数のうち, で割り切れるが では割り切れないものを考える。この中で最も小さい数を求め…

ノウゼンカズラは、漢字で書くと「凌霄花」だが、難しい読みだと思う。その凌霄の花を近所のあちこちで見かけるようになった。子規の俳句が実感としてよくわかる。 家毎に凌霄咲ける温泉 (いでゆ) かな 高い木に蔓を伸ばして、そこで花をいっぱいつけている…

今日はたくさん撮った。ハス。ハマナス(浜薔薇)。バラの原種のひとつである。ノリウツギ。アジサイ属である。キキョウ。キフゲットウ (黄斑月桃)。スイレン。ハイビスカス。ヤマアジサイ。葉が赤くなる品種である。ダリア。 ツチアケビ。ハンゲショウ (半夏…

突然だが、下の問題は 2013 年の京都大学の文理共通の入試問題である。このような線分の長さの比や図形の面積の比を求めさせる類似の問題は高校入試や大学入試の定番ともいえる。もしかしたら中学入試にもあるかもしれない。もちろん、メネラウスの定理やベ…