陥没地帯 (16) - ノリの悪い日記

今日は座間の陶芸家のところに行った。斎藤茂吉肉筆の色紙を見せてもらった。書かれているのは、大正 2 年から 6 年までの歌を集めた『あらたま』にある有名な歌である。茂吉はこの歌を好んで色紙に書いたらしい。

ゆふされば大根の葉にふる時雨(しぐれ)いたく寂しく降りにけるかも　

レウィシア。

次の問題は中学入試問題。

【問 1】

$17$ で割ると $3$ あまり， $13$ で割ると $7$ あまる数で $3$ 桁の整数のうち最大のものを求めよ。

【解】

$17$ と $13$ は互いに素なので中国の剰余定理が使える。

$x \equiv 20 \; (\mathrm{mod} \ 13 \cdot 17 = 221)$

が $\mathrm{mod} \ 221$ における唯一の解である。これはひと目でわかることであるが、

$x = 17s + 3$ ( $s$ は整数)

と置いて、

$17s + 3 \equiv 7 \ (\mathrm{mod} \ 13)$

を解き、 $s = 1$ を導いてもよい。

あとは、

$x = 221t + 20$ ( $t$ は整数) と置いて、

$221t + 20 \lt 1000$

を満たす整数 $t$ の最大値を求めれば良い。

$\displaystyle{t = \left\lfloor \frac{980}{221} \right\rfloor=4}$

であり、

$x = 221 \times 4 + 20 = 904$

となる。//

※ 中国の剰余定理:

二つの自然数 $m,n$ が互いに素ならば、任意の整数 $a,b$ に対し、

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x \equiv a \ (\mathrm{mod} \ m)\\ x \equiv b \ (\mathrm{mod} \ n) \end{array}\right.}$

を満たす整数 $x$ が $\mathrm{mod} \ mn$ においてただひとつ存在する。//

もう 2 題、軽めのをやっておこう。いずれも大学入試問題である。

【問 2】

自然数の $2$ 乗になる数を平方数という。以下の問いに答えよ。

$\text{(1)}$ $10$ 進法で表して $3$ 桁以上の平方数に対し、 $10$ の位の数を $a$ , $1$ の位の数を $b$ とおいたとき、 $a + b$ が偶数となるならば、 $b$ は $0$ または $4$ であることを示せ。

$\text{(2)}$ $10$ 進法で表して $5$ 桁以上の平方数に対し、 $1000$ の位の数、 $100$ の位の数、 $10$ の位の数、および $1$ の位の $4$ つのすべてが同じ数となるならば、その平方数は、 $10000$ で割り切れることを示せ。

【解】

$\text{(1)}$ まず法 $4$ で考えると、いま考えている平方数は、

$2a + b \ (\mathrm{mod} \ 4)$

と表すことができる。また平方数は法 $4$ で $0$ または $1$ だから、

$2a + b \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 4)$

または、

$2a + b \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 4)$

である。

ところで、 $a + b$ は偶数なので、

$2a + 2b \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 4)$

であり、これらから、

$b \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 4)$

または、

$b \equiv 3 \ (\mathrm{mod} \ 4)$

であることが帰結される。以上から $b$ として $0, 3, 4, 7, 8$ が候補となるが、このうち平方数の $1$ の位の数として実際に存在しえるのは $0$ と $4$ のみである。

$\text{(2)}$ 上の $\text{ (1)}$ の結果を使えるので、問題文の「同じ数」としてとりうる候補は、 $0, 4$ である。「同じ数」が $0$ であれば、いま考えている平方数が、 $10000$ で割り切れることは自明である。

「同じ数」が $4$ だとすると、その平方数は $4$ で割り切れるので、平方数を

$4k^2 = 10^4 s + 4444$

と書く ( $k, s$ は自然数)。すると、

$k^2 = 2500 s + 1111$

であるが、これから

$k^2 \equiv 3 \ (\mathrm{mod} \ 4)$

となり、法 $4$ では一般に平方数は $0$ または $1$ であることと矛盾する。したがって「同じ数」は $4$ ではない。　//

【問 3】

整数 $n$ に対し

$\displaystyle{f(n) = \frac{n(n - 1)}{2}}$

とおき、

$\displaystyle{a_{n} = \mathrm{i}^{f(n)}}$

と定める。ただし、 $\mathrm{i}$ は虚数単位を表す。このとき、

$a_{n + k} = a_{n}$

が任意の $n$ に対して成り立つような正の整数 $k$ をすべて求めよ。