ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (20)

ベニバナ(紅花)。万葉の時代から末摘花として歌われている。

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イブキジャコウソウ。

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タイマツバナ。

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クララ。名前の由来は眩草 (くららぐさ) がつまったもの。

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ミソハギ。お盆の花として知られているが、開花期間は長い。

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アマギアマチャ (天城甘茶) だと思う。

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トウキ。

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ウイキョウ。

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トウゴマ。種子からひまし油をとる。上の赤いのが雌花で下の白いのが雄花。

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ヤマブキショウマ。

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キョウチクトウ。

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【問】

整数からなる数列  \{a_n\} を漸化式

 a_1 = 1, a_2 = 3,
 a_{n+2} = 3a_{n+1} - 7a_{n} \ (n = 1,2, \cdots)

によって定める。

 \text{(1)}  a_{n} が偶数となることと、 n 3 の倍数となることは同値であることを示せ。
 \text{(2)}  a_n10 の倍数となるための条件を \text{(1)} と同様の形式で求めよ。

【解】
\text{(1)}  k を自然数としたとき、

 a_{3k-2} \equiv 1 \  (\mathrm{mod}\ 2)
 a_{3k-1} \equiv 1 \  (\mathrm{mod}\ 2)
 a_{3k} \equiv 0 \  (\mathrm{mod}\ 2)

を証明すれば、題意は証明される。

 k = 1 のとき、
 a_1 = 1, a_2 =3, a_3 = 2 なので成立する。

 k のときの成立を仮定すれば、

 a_{3k+1} \\ = 3a_{3k} - 7a_{3k-1}\\ \equiv a_{3k} + a_{3k-1} \ (\mathrm{mod} \ 2) \\
\equiv 1  \ (\mathrm{mod} \ 2)

 a_{3k+2} \\ \equiv a_{3k+1} + a_{3k} \ (\mathrm{mod} \ 2) \\
\equiv 1  \ (\mathrm{mod} \ 2)

 a_{3k+3} \\ \equiv a_{3k+2} + a_{3k+1} \ (\mathrm{mod} \ 2) \\
\equiv 0  \ (\mathrm{mod} \ 2)

となって  k + 1 でも成立する。
//

\text{(2)}

 a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 2, a_4 = -15

から、 a_{n} 5 の倍数であることと、  n 4 の倍数であることは同値であるという予想を証明するために、

 a_{4k-3} \equiv 1 \  (\mathrm{mod}\ 5)
 a_{4k-2} \equiv 3 \  (\mathrm{mod}\ 5)
 a_{4k-1} \equiv 2\  (\mathrm{mod}\  5)
 a_{4k} \equiv 0 \  (\mathrm{mod}\ 5)

が正しいことを帰納法で証明する。

 k=1 のときの成立はすでに確認した。

 k のときの成立を仮定すれば、

 a_{4k+1} \\ = 3a_{4k} - 7a_{4k-1}\\ \equiv 3\times(a_{4k} + a_{4k-1} )\ (\mathrm{mod} \ 5) \\
\equiv 1  \ (\mathrm{mod} \ 5)

 a_{4k+2} \\ \equiv 3\times(a_{4k+1} + a_{4k} )\ (\mathrm{mod} \ 5) \\
\equiv 3 \ (\mathrm{mod} \ 5)

 a_{4k+3} \\ \equiv 3\times(a_{4k+2} + a_{4k+1} )\ (\mathrm{mod} \ 5) \\
\equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 5)

 a_{4k+4} \\ \equiv 3\times(a_{4k+3} + a_{4k+2} )\ (\mathrm{mod} \ 5) \\
\equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 5)

となって  k + 1 でも成立する。

 \text{(1)} も含めたいままでの結果から、 a_n10 の倍数であることは、  a_n2 の倍数でありかつ 5 の倍数であることと同値であり、さらに  n  3 の倍数でありかつ  4 の倍数であることと同値である。すなわち、 a_n10 の倍数であることは、  n12 の倍数であることと同値である。//