陥没地帯 (20) - ノリの悪い日記

ベニバナ(紅花)。万葉の時代から末摘花として歌われている。

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イブキジャコウソウ。

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タイマツバナ。

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クララ。名前の由来は眩草 (くららぐさ) がつまったもの。

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ミソハギ。お盆の花として知られているが、開花期間は長い。

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アマギアマチャ (天城甘茶) だと思う。

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トウキ。

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ウイキョウ。

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トウゴマ。種子からひまし油をとる。上の赤いのが雌花で下の白いのが雄花。

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ヤマブキショウマ。

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キョウチクトウ。

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【問】

整数からなる数列 $\{a_n\}$ を漸化式

$a_1 = 1, a_2 = 3,$
$a_{n+2} = 3a_{n+1} - 7a_{n} \ (n = 1,2, \cdots)$

によって定める。

$\text{(1)}$ $a_{n}$ が偶数となることと、 $n$ が $3$ の倍数となることは同値であることを示せ。
$\text{(2)}$ $a_n$ が $10$ の倍数となるための条件を $\text{(1)}$ と同様の形式で求めよ。

【解】
$\text{(1)}$ $k$ を自然数としたとき、

$a_{3k-2} \equiv 1 \ (\mathrm{mod}\ 2)$
$a_{3k-1} \equiv 1 \ (\mathrm{mod}\ 2)$
$a_{3k} \equiv 0 \ (\mathrm{mod}\ 2)$

を証明すれば、題意は証明される。

$k = 1$ のとき、
$a_1 = 1, a_2 =3, a_3 = 2$ なので成立する。

$k$ のときの成立を仮定すれば、

$a_{3k+1} \\ = 3a_{3k} - 7a_{3k-1}\\ \equiv a_{3k} + a_{3k-1} \ (\mathrm{mod} \ 2) \\ \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 2)$

$a_{3k+2} \\ \equiv a_{3k+1} + a_{3k} \ (\mathrm{mod} \ 2) \\ \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 2)$

$a_{3k+3} \\ \equiv a_{3k+2} + a_{3k+1} \ (\mathrm{mod} \ 2) \\ \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 2)$

となって　 $k + 1$ でも成立する。
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$\text{(2)}$

$a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 2, a_4 = -15$

から、 $a_{n}$ が $5$ の倍数であることと、 $n$ が $4$ の倍数であることは同値であるという予想を証明するために、

$a_{4k-3} \equiv 1 \ (\mathrm{mod}\ 5)$
$a_{4k-2} \equiv 3 \ (\mathrm{mod}\ 5)$
$a_{4k-1} \equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 5)$
$a_{4k} \equiv 0 \ (\mathrm{mod}\ 5)$

が正しいことを帰納法で証明する。

$k=1$ のときの成立はすでに確認した。

$k$ のときの成立を仮定すれば、

$a_{4k+1} \\ = 3a_{4k} - 7a_{4k-1}\\ \equiv 3\times(a_{4k} + a_{4k-1} )\ (\mathrm{mod} \ 5) \\ \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 5)$

$a_{4k+2} \\ \equiv 3\times(a_{4k+1} + a_{4k} )\ (\mathrm{mod} \ 5) \\ \equiv 3 \ (\mathrm{mod} \ 5)$

$a_{4k+3} \\ \equiv 3\times(a_{4k+2} + a_{4k+1} )\ (\mathrm{mod} \ 5) \\ \equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 5)$

$a_{4k+4} \\ \equiv 3\times(a_{4k+3} + a_{4k+2} )\ (\mathrm{mod} \ 5) \\ \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 5)$

となって　 $k + 1$ でも成立する。

$\text{(1)}$ も含めたいままでの結果から、 $a_n$ が $10$ の倍数であることは、 $a_n$ が $2$ の倍数でありかつ $5$ の倍数であることと同値であり、さらに $n$ が $3$ の倍数でありかつ $4$ の倍数であることと同値である。すなわち、 $a_n$ が $10$ の倍数であることは、 $n$ が $12$ の倍数であることと同値である。//