ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (17)

高校数学整数問題花

クチナシの花も撮らないといけないなあ。

ウチワサボテンの花。

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ムクゲ。もう少し近くで見たかった。

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ネムノキ。

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ストケシア(ルリギク)。

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キヌタソウ。

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ハナトラノオ。白花もある。

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【問】

自然数 $a, b$ はどちらも $3$ で割り切れないが、

$a^3 + b^3$

は $81$ で割り切れる。このような $a, b$ の組 $(a, b)$ のうち,

$a^2 + b^2$

の値を最小にするものと、そのときの $a^2 + b^2$ の値を求めよ。

【解】

$a^3 + b^3 \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 3)$

であり、

$a^3 + b^3 = (a+b)^3-3ab(a+b)$

だから、

$(a+b)^3 \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 3)$

となり、これから

$a+b \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 3)$

がいえる。そこで $a + b = 3p$ ( $p$ は自然数) とおくと、

$a^3 + b^3 = 9p(3p^2-ab)$

となる。上式の最後の積の因子に着目すると、

$3p^2 - ab \equiv -ab \ (\mathrm{mod} \ 3)$

であるが、自然数 $a, b$ はどちらも $3$ で割り切れないので、 $- ab$ は、 $3$ の倍数とはならない。このことと、 $a^3 + b^3$ は $81$ の倍数であることから、 $p$ は $9$ の倍数であり、したがって $a + b$ は $27$ の倍数であることがわかった。

そこで、新たに　

$a + b = 27k$ ( $k$ は自然数)

とおいて、このとき、

$a^2 + b^2$

の最小値を求めればよい。

$\begin{align} a^2 + b^2 &= a^2 + (27k -a)^2 \\&= 2\left(a - \frac{27k}{2}\right)^2 +\frac{\left(27k\right)^2}{2}\end{align}$

すると、 $k$ が奇数ならば

$\displaystyle{a = \frac{27k}{2} \pm \frac{1}{2}}$

で最小となり、最小値は

$\displaystyle{\frac{(27k)^2+1}{2}}$

である。 $k$ が偶数ならば、 $a$ は $3$ で割り切れないので、

$\displaystyle{a = \frac{27k}{2} \pm 1}$

で最小となり、最小値は

$\displaystyle{\frac{(27k)^2+4}{2}}$

である。

以上より明らかに、 $k = 1$ で $a^2 + b^2$ は最小となり、このとき、

$(a, b) = (13, 14), (14, 13)$

で、最小値は、

$\displaystyle{\frac{(27)^2+1}{2}=\frac{729+1}{2}=365}$

である。//