ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (17)

クチナシの花も撮らないといけないなあ。

ウチワサボテンの花。

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ムクゲ。もう少し近くで見たかった。

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ネムノキ。

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ストケシア(ルリギク)。

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キヌタソウ。

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ハナトラノオ。白花もある。

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【問】

自然数  a, b はどちらも 3 で割り切れないが、

 a^3 + b^3

81 で割り切れる。このような  a, b の組  (a, b) のうち,

 a^2 + b^2

の値を最小にするものと、そのときの  a^2 + b^2 の値を求めよ。

【解】

 a^3 + b^3  \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 3)

であり、

 a^3 + b^3 = (a+b)^3-3ab(a+b)

だから、

 (a+b)^3 \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 3)

となり、これから

 a+b \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 3)

がいえる。そこで  a + b = 3p ( p は自然数) とおくと、

 a^3 + b^3 = 9p(3p^2-ab)

となる。上式の最後の積の因子に着目すると、

  3p^2 - ab \equiv -ab \ (\mathrm{mod} \ 3)

であるが、自然数  a, b はどちらも 3 で割り切れないので、  - ab は、 3 の倍数とはならない。このことと、 a^3 + b^3 81 の倍数であることから、 p 9 の倍数であり、したがって  a + b 27 の倍数であることがわかった。

そこで、新たに 

 a + b = 27k ( k は自然数)

とおいて、このとき、

 a^2 + b^2

の最小値を求めればよい。

 \begin{align} a^2 + b^2 &= a^2 + (27k -a)^2 \\&= 2(a - \frac{27k}{2})^2 +\frac{(27k)^2}{2}\end{align}

すると、 k が奇数ならば

 \displaystyle{a = \frac{27k}{2} \pm \frac{1}{2}}

で最小となり、最小値は

 \displaystyle{\frac{(27k)^2+1}{2}}

である。 k が偶数ならば、 a 3 で割り切れないので、

 \displaystyle{a = \frac{27k}{2} \pm 1}

で最小となり、最小値は

 \displaystyle{\frac{(27k)^2+4}{2}}

である。

以上より明らかに、 k = 1 a^2 + b^2 は最小となり、このとき、

 (a, b) = (13, 14), (14, 13)

で、最小値は、

 \displaystyle{\frac{(27)^2+1}{2}=\frac{729+1}{2}=365}

である。//