ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (18)

クチナシの花。

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守屋浩が『くちなしの花が咲く頃』という曲を歌っていてその流れで聞いてしまった。


🎵僕は泣いちっち【守屋浩】御本人

セイヨウニンジンボク。

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【問】

 abcd = a + b + c + d

を満たす正の整数  a, b, c, d をすべて求めよ。

【解】

式の対称性から考えて  a が最大値であると仮定しても一般性を失わない。

 \displaystyle{bcd = 1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}+ \frac{d}{a}}

そうすると、

 1 \lt bcd \leq 4

だが、 a=b=c=d のときは

 a^4 = 4a

となって正の整数解をもたないので、

 1 \lt bcd \lt 4

となり、

 bcd = 2, 3

である。 2,3 は素数なので、 {b, c, d} のひとつの要素は  2 または 3 で、残りの二つの要素は  1 である。

そうすると、

 2a = a + 4
 3a = a + 5

であるが、a が正の整数となるのは、 {b, c, d} のひとつの要素が  2 のときで、このとき  a = 4 である。

あとは、 a が最大値であるという仮定を落として、 4,2,1, 1 \frac{4!}{2!} = 12 通りの順列をすべてひたすら書きあげればよい。

 \displaystyle{(a, b, c, d) \\\begin{align}=\ &(4, 2, 1, 1), (4,1,2,1), (4,1,1,2), \\&(2,4,1,1), (1,4,2,1), (1,4,1,2), \\ &(2,1,4,1), (1,2,4,1), (1,1,4,2), \\ &(2,1,1,4), (1,2,1,4), (1,1,2,4)\end{align}}
//