ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (21)

百日紅も咲いているけれど、まだ撮影する機会はあるだろうと思って保留。

ムクゲ (木槿)。

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ボタンクサギ。
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ヤナギハナガサ。
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【問】

 a, b, c, d, e を正の実数として整式

 \begin{align} f(x) &= ax^2 + bx + c \\ g(x) &= dx + e \end{align}

を考える。すべての正の整数 n に対して

 \displaystyle{ \frac{f(n)}{g(n)}}

は整数である。このとき、f(x) g(x) で割り切れることを示せ。


【解】

 f(x) g(x) で割った商を  px + q, 余りを  r とする ( p, q, r は実数) 。すなわち、

 f(x) = (px + q)g(x) + r

このとき、 r = 0 を証明するとよい。

 \displaystyle{\begin{align} \frac{f(n)}{g(n)} &= pn + q  + \frac{r}{g(n)} \\ &= pn + q  + \frac{r}{dn+e} \end{align}}

ここで、

 \displaystyle{h(n)  = \frac{f(n+1)}{g(n+1)} - \frac{f(n)}{g(n)}}

と定義する。

 \displaystyle{\begin{align} h(n) &= p + r(\frac{1}{g(n+1)}- \frac{1}{g(n)})\\ &= p + r(\frac{1}{d(n+1)+e}- \frac{1}{dn+e})\end{align}}

となり、 d \neq 0 だから、

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} h(n) = p}

である。

 h(n) は問題の条件から、すべての正の整数 n に対して常に整数である。このことから、ある十分大きな 整数 n_0 が存在して任意の  n \gt n_0 で、

 \displaystyle{|h(n) - p| =  0 }

となるので、そのような  n について、

 \displaystyle{r(\frac{1}{d(n+1)+e}- \frac{1}{dn+e}) = 0}

となる。

 d は正の実数であるから、 g(n+1)  \gt g(n) であり、したがって、

 \displaystyle{\frac{1}{g(n+1)}- \frac{1}{g(n)} \neq 0}

なので、

 r = 0

が結論される。//