ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (21)

高校数学整数問題花

百日紅も咲いているけれど、まだ撮影する機会はあるだろうと思って保留。

ムクゲ (木槿)。

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ボタンクサギ。
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ヤナギハナガサ。
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【問】

$a, b, c, d, e$ を正の実数として整式

$\begin{align} f(x) &= ax^2 + bx + c \\ g(x) &= dx + e \end{align}$

を考える。すべての正の整数 $n$ に対して

$\displaystyle{ \frac{f(n)}{g(n)}}$

は整数である。このとき、 $f(x)$ は $g(x)$ で割り切れることを示せ。

【解】

$f(x)$ を $g(x)$ で割った商を $px + q$ , 余りを $r$ とする ( $p, q, r$ は実数) 。すなわち、

$f(x) = (px + q)g(x) + r$

このとき、 $r = 0$ を証明するとよい。

$\displaystyle{\begin{align} \frac{f(n)}{g(n)} &= pn + q + \frac{r}{g(n)} \\ &= pn + q + \frac{r}{dn+e} \end{align}}$

ここで、

$\displaystyle{h(n) = \frac{f(n+1)}{g(n+1)} - \frac{f(n)}{g(n)}}$

と定義する。

$\displaystyle{\begin{align} h(n) &= p + r\left(\frac{1}{g(n+1)}- \frac{1}{g(n)}\right)\\ &= p + r\left(\frac{1}{d(n+1)+e}- \frac{1}{dn+e}\right)\end{align}}$

となり、 $d \neq 0$ だから、

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} h(n) = p}$

である。

$h(n)$ は問題の条件から、すべての正の整数 $n$ に対して常に整数である。このことから、ある十分大きな整数 $n_0$ が存在して任意の $n \gt n_0$ で、

$\displaystyle{|h(n) - p| = 0 }$

となるので、そのような $n$ について、

$\displaystyle{r\left(\frac{1}{d(n+1)+e}- \frac{1}{dn+e}\right) = 0}$

となる。

$d$ は正の実数であるから、 $g(n+1) \gt g(n)$ であり、したがって、

$\displaystyle{\frac{1}{g(n+1)}- \frac{1}{g(n)} \neq 0}$

なので、

$r = 0$

が結論される。//