ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (14)

ノウゼンカズラは、漢字で書くと「凌霄花」だが、難しい読みだと思う。その凌霄の花を近所のあちこちで見かけるようになった。子規の俳句が実感としてよくわかる。

家毎に凌霄咲ける温泉 (いでゆ) かな

高い木に蔓を伸ばして、そこで花をいっぱいつけている様子はなかなか良いもので子規はこんな句も残している。

名も知らぬ木に凌霄のさかり哉

(この前、相模川沿いを歩いていて喉が渇き河川敷にある枇杷の木から実をひとつとって食べた。そのとき雉子が「ケーン」と一声鳴いたので子規のことを思い出したのである。)

その花の朱色を見ていると星野立子 (ほしの たつこ、虚子の次女) の次の句もわかる。

凌霄花に夕日まだあり水を打つ

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塾の講師のアルバイトに応募してみたら、採用されてしまったので、感覚を取り戻す作業をしている。

【問】

 3 以上  9999 以下の奇数 a  a^2 - a  10000 で割り切れるものをすべて求めよ。

【解】

 a^2 - a = (a - 1)a

で、 a - 1 は正の整数だから、隣合う正の整数  a-1, a を乗じたとき、その積が 10000 で割り切れる奇数  3 \leq a \leq 9999 を求めればよい。

 10000 = 10^4 = (2 \times 5)^4 = 2^4 \times 5^4

だが、 a-1, a は隣りあう整数同士なので「互いに素」であり、また  a は奇数なのでその素因数には 2 をもたない。この二つの条件から、 p, q を互いに素なある正の整数として、

 a = 5^{4} p=625p

 a - 1 = 2^{4}q=16q

と書けることがわかる。つまり、

 625p = 16 q +1

だが、

 625 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 16)

なので、

 p  \equiv 1  \ (\mathrm{mod} \ 16)

である。これと

 625p \leq 9999

から、 p = 1 のみに決まる。

( 625 \times 17 = 10625 \gt 9999)

したがって求める  a625 で、これが題意を満たす全部である。//