ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (15)

散歩していると道端にコンニャクを見つけた。北関東では珍しくないんだろうけれど、この辺ではあまり目にしない。

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【問】

207,\ 2007,\ 20007, \ \dots のように先頭が 2 で末尾が 7, 間がすべて 0 である整数のうち, 27 で割り切れるが 81 では割り切れないものを考える。この中で最も小さい数を求めよ。

【解】

問題に示されている整数を  n を自然数として以下のように表す。

 20\times 10^n+7 = 20\times (10^n -1)+27

上の整数は問題の条件から 27 で割り切れるので

 10^n - 1

 27 の倍数である。このことから  10^n - 1 81 で割れば、余りは  0,  27,  54 のいずれかをとるが、

A) 余り 0 のとき、

 20\times (10^n -1)+27 \equiv 27 \ (\mathrm{mod} \ 81)

B) 余り 27 のとき、

 \begin{align} 20\times (10^n -1)+27 &\equiv 20\times27+27 \\ &\equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 81) \end{align}

C) 余り 54 のとき、

 \begin{align} 20\times (10^n -1)+27 &\equiv 20\times54+27 \\ &\equiv 54 \ (\mathrm{mod} \ 81) \end{align}

となり、問題の整数が 「27 で割り切れるが、81 では割り切れない」と同値な条件は、「自然数  n

 10^n - 1 \equiv 0 \ (\mathrm{mod}\ 81)

または、

 10^n - 1 \equiv 54 \ (\mathrm{mod}\ 81)

を満たす」ことである。

ところで、

 10^n - 1 = 9 \times (1 + 10 + \cdots+ 10^{n -1})

が成り立つが、

 \begin{align} 1 + 10 + \cdots+ 10^{n -1} &\equiv 1+1+ \cdots +1 \\& \equiv n \ (\mathrm{mod}\  9) \end{align}

なので、 m を整数として、

 1 + 10 + \cdots+ 10^{n -1} =  9m + n

とおいてみると、

 10^n - 1 \equiv 9n\ (\mathrm{mod}\ 81)

であることがわかる。すると、先ほどの同値な条件は、「自然数  n

 9n \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 81)

または、

 9n \equiv 54 \ (\mathrm{mod} \ 81)

を満たす」ことに帰着される。この条件を満たす最小の自然数  n を実際に求めれば  n = 6 である。したがって求める整数は、

 20\times 10^6+7 = 20000007

となる。//