ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (15)

高校数学整数問題花

散歩していると道端にコンニャクを見つけた。北関東では珍しくないんだろうけれど、この辺ではあまり目にしない。

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【問】

$207,\ 2007,\ 20007, \ \dots$ のように先頭が $2$ で末尾が $7$ , 間がすべて $0$ である整数のうち, $27$ で割り切れるが $81$ では割り切れないものを考える。この中で最も小さい数を求めよ。

【解】

問題に示されている整数を $n$ を自然数として以下のように表す。

$20\times 10^n+7 = 20\times (10^n -1)+27$

上の整数は問題の条件から $27$ で割り切れるので

$10^n - 1$

は $27$ の倍数である。このことから $10^n - 1$ を $81$ で割れば、余りは $0$ , $27$ , $54$ のいずれかをとるが、

A) 余り $0$ のとき、

$20\times (10^n -1)+27 \equiv 27 \ (\mathrm{mod} \ 81)$

B) 余り $27$ のとき、

$\begin{align} 20\times (10^n -1)+27 &\equiv 20\times27+27 \\ &\equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 81) \end{align}$

C) 余り $54$ のとき、

$\begin{align} 20\times (10^n -1)+27 &\equiv 20\times54+27 \\ &\equiv 54 \ (\mathrm{mod} \ 81) \end{align}$

となり、問題の整数が「 $27$ で割り切れるが、 $81$ では割り切れない」と同値な条件は、「自然数 $n$ が

$10^n - 1 \equiv 0 \ (\mathrm{mod}\ 81)$

または、

$10^n - 1 \equiv 54 \ (\mathrm{mod}\ 81)$

を満たす」ことである。

ところで、

$10^n - 1 = 9 \times (1 + 10 + \cdots+ 10^{n -1})$

が成り立つが、

$\begin{align} 1 + 10 + \cdots+ 10^{n -1} &\equiv 1+1+ \cdots +1 \\& \equiv n \ (\mathrm{mod}\ 9) \end{align}$

なので、 $m$ を整数として、

$1 + 10 + \cdots+ 10^{n -1} = 9m + n$

とおいてみると、

$10^n - 1 \equiv 9n\ (\mathrm{mod}\ 81)$

であることがわかる。すると、先ほどの同値な条件は、「自然数 $n$ が

$9n \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 81)$

または、

$9n \equiv 54 \ (\mathrm{mod} \ 81)$

を満たす」ことに帰着される。この条件を満たす最小の自然数 $n$ を実際に求めれば $n = 6$ である。したがって求める整数は、

$20\times 10^6+7 = 20000007$

となる。//