ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (25)

高校数学花

シナフジ。

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ムクゲ。

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【問】
実数 $a, b$ について、

$p: (a + b)^2 + (a - 2b)^2 \lt 5$
$q: |a + b| \lt 1$ または $|a - 2b| \lt 2$

$p$ は $q$ であるための何条件かを答えよ。

【解】
$\bar{q}: |a + b| \geq 1$ かつ $|a - 2b| \geq 2$

であると仮定すると、

$|a + b| \geq 1$

である。これと、

$|a + b| \geq 1 \Rightarrow (a + b)^2 \geq 1$

から、

$(a + b)^2 \geq 1$

である。同じようにして、仮定から、

$|a - 2b| \geq 2$

である。これと、

$|a - 2b| \geq 2 \Rightarrow (a -2b)^2 \geq 4$

から、

$(a - 2b)^2 \geq 4$

である。

$(a + b)^2 \geq 1$ と $(a - 2b)^2 \geq 4$ から、

$\bar{p}: (a + b)^2 + (a - 2b)^2 \geq 1+4=5$

である。仮定は $\bar{q}$ であったから、結論は $\bar{p}$ ではなく仮定 $\bar{q}$ を結論に落とした、 $\bar{q} \Rightarrow \bar{p}$ である。対偶をとれば $p \Rightarrow q$ が成立する。

次に、

$a = 1000$ かつ $b = 500$ のとき、命題 $q$ は真であるが、命題 $p$ は偽である。つまり、命題 $q$ が真であり、かつ命題 $p$ が偽である実数 $a, b$ の組が存在する。反例が存在するので $q \Rightarrow p$ は成り立たない。

以上から、 $p$ は $q$ であるための十分条件である。
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