ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (25)

シナフジ。

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ムクゲ。

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【問】
実数  a, b について、

 p: (a + b)^2 + (a - 2b)^2 \lt 5
 q: |a + b| \lt 1 または  |a - 2b| \lt 2

 pq であるための何条件かを答えよ。

【解】
 \bar{q}:  |a + b| \geq 1 かつ  |a - 2b| \geq 2

であると仮定すると、

 |a + b| \geq 1

である。これと、

 |a + b| \geq 1  \Rightarrow (a + b)^2 \geq 1

から、

 (a + b)^2 \geq 1

である。同じようにして、仮定から、

 |a - 2b| \geq 2

である。これと、

 |a - 2b| \geq 2 \Rightarrow (a -2b)^2 \geq 4

から、

 (a - 2b)^2 \geq 4

である。

 (a + b)^2 \geq 1  (a - 2b)^2 \geq 4 から、

 \bar{p}:  (a + b)^2 + (a - 2b)^2 \geq 1+4=5

である。仮定は  \bar{q} であったから、結論は  \bar{p} ではなく仮定  \bar{q} を結論に落とした、 \bar{q} \Rightarrow \bar{p} である。対偶をとれば  p \Rightarrow q が成立する。

次に、

 a = 1000 かつ  b = 500 のとき、命題  q は真であるが、命題  p は偽である。つまり、命題  q が真であり、かつ命題  p が偽である実数  a, b の組が存在する。反例が存在するので  q \Rightarrow p は成り立たない。

以上から、 pq であるための十分条件である。
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