ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (276)

高校数学 場合の数と確率

2003 年の一橋大の問題. いまさらだが, 組合せの数 {}_n\mathrm{C}_m というのは, もちろん n 個の要素をもつ集合において m 個の要素をもつ部分集合の個数のことをいう.

【問】

【解】

(1) 余事象で求める. 2n 枚の識別されたカードから, 2 枚のカードを選んで並べるという全事象に対して, 先頭のカードの番号を a_1, 2 枚目のカードを a_2 として, 1 \leq a_1 < a_2 \leq n となる場合の数を求める.

まず, n 個の異なる数字から 2 つの数字を選ぶのは, {}_n\mathrm{C}_2 通り. 選んだ数字は小さい順に並べるのだから, 並べ方はそれぞれ 1 通りしかない. 各々の数字には, 2 枚のカードがあるから, 結局, {}_n\mathrm{C}_2 \times 2^2 通りのカードの並べ方がある. したがって, 求める確率は,

\displaystyle{1- \frac{{}_n\mathrm{C}_2 \times 4}{{}_{2n}\mathrm{P}_2} \\= 1- \frac{2n(n-1)}{2n(2n-1)} \\= \frac{n}{2n-1} }

である.

(2) i 番目のカードの番号を a_i とすると, n 番目まで a_i = i で, n+1 番目は,

a_{i+1} = n

である. n 枚目まではそれぞれの番号について 2 枚あるカードのどちらかが入り, n +1 枚目は番号 n の残ったカードである. したがって求める確率は,

\displaystyle{\frac{2^n}{{}_{2n}\mathrm{P}_n}= \frac{2^n (2n-n)!}{(2n)!}= \frac{2^n n!}{(2n)!} }

となる.

(3)
問題の条件は, 1 \leq a_1 < a_2< \cdots < a_m \leq n をみたしていることと同値である. 求める確率は,

\displaystyle{\frac{ 2^m \cdot {}_n\mathrm{C}_m }{{}_{2n}\mathrm{P}_m} = \frac{2^m n! (2n-m)!}{(2n)!m!(n-m)!} }

である.//