疲れたので, とても簡単な問題にする. 年の京大, 文理共通問題. 「知恵の輪熊」を読んで癒される.
「知恵の輪熊」の可愛らしさは誰にもわかるまい|些事にこだわり|蓮實 重彦|webちくま
【問】
から までの自然数を 列に並べる. どの並べかたも同様の確からしさで起こる ものとする. このとき 番目と 番目と 番目の数の和と, 番目と 番目と 番 目の数の和が等しくなる確率を求めよ. ただし, 各並べかたにおいて, それぞれ の数字は重複なく 度ずつ用いるものとする.
【解】
※ この問題は簡単なので, 紛れようがないが, 順番を区別する場合にはリスト表示 で, 順番を区別しない場合は, 集合表示 で書くとよいときがある. たとえば, から までの番号がついた つのボールを つに分配する場合には次のような例は, みな違った数え方をしないといけない. 写像 相 (英語の “the Twelvefold Way” は, 仏教の「八正道」の英訳をヒントに命名されたらしい) も, 全部のパターンを分類しきれているわけではないことに注意が必要である.
, ,
,
//
一列に並べた自然数を と書くと,
から, 両辺に を足して,
(★)
なので, は奇数である.
のとき:
★から,
で, 可能な分割は,
となり, である. これひとつについて, の配置は 通りある.
のとき:
★から,
で, 可能な分割は,
となり, である. これひとつについて, の配置は 通りある.
のとき:
★から,
で, 可能な分割は,
となり, である. これひとつについて, の配置は 通りある.
以上より, 求める確率は,
である.
//