陥没地帯 (272) - ノリの悪い日記

$1996$ 年, 東大理科後期の問題. 基本的なことを考察させる問題なので, とりあげることにした. 問 $(1)$ は重複順列, 問 $(2)$ は重複組合せ, 問 $(3)$ は, (第 $2$ 種) スターリング数, 問 $(4)$ は自然数の分割に関連している問である.

【問】

【解】
$(1)$
積の法則から $3^n$ 通り.

$(2)$
ボールに区別がなく, 区別された $3$ つの箱に入るボールの個数だけを問題にするので,

$x_1 + x_2 + x_3 = n$
$x_1, x_2, x_3 \geq 0$

の解の組の個数を求めることと同じで,

$\displaystyle{ {}_{n+2}\mathrm{C}_{2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}}$

通り.

$(3)$
$n$ 個のボールが $1$ つの箱にすべて入る場合は $1$ 通り.

$n$ 個のボールが $2$ つの区別された箱 $A$ , $B$ に入る場合は, $2^{n}$ 通りあるが, $A$ または $B$ の箱には入らない $2$ 通りを除外すると, $2^{n} -2$ 通り. 箱を区別しない場合には $2!$ で割って, $2^{n-1} -1$ 通りとなる.

$n$ 個のボールが $3$ つの区別された箱 $A$ , $B$ , $C$ に入る場合は, $3^n$ 通りある. $A$ または $B$ または $C$ にボールが入らない場合は, $3 \times 2^n - 3$ 通りある. したがって, どの箱にもボールが入る場合は,

$3^n - 3 \times 2^n + 3$

となる. $3$ つの箱は区別しない場合には, $3!$ で割って,

$\displaystyle{\frac{3^{n-1} + 1}{2}-2^{n-1}}$

通りとなる.

以上より, $3$ つの箱すべてにボールが入る場合, $2$ つの箱すべてにボールが入る場合, $1$ つの箱にすべてのボールが入る場合をすべて加えて,

$\displaystyle{\frac{3^{n-1} + 1}{2} -2^{n-1} + 2^{n-1} -1 + 1 \\= \frac{3^{n-1} + 1}{2}}$

通りとなる.

$(4)$

問 $(2)$ の結果に, $n =6m$ を代入すると,

$\displaystyle{ \frac{(6m+2)(6m+1)}{2}= 18m^2 + 9m + 1}$

となるが, このうち, 解が $2$ 個以上同じになる重解をもつ組を, 箱の並びを考慮しないで列挙してみると,

$(0,0, 6m), (1,1,6m-2), \cdots, \\ (2m, 2m, 2m), (2m+1, 2m+1, 2m -2 ), \\ \quad \cdots, (3m-1, 3m-1, 2), (3m, 3m,0)$

となる. したがって, 箱を区別する場合には, $2$ 個の解が一致するものが, $3 \cdot 3m = 9m$ 組, $3$ 個とも一致するものが $1$ 組存在する. したがってボールも箱も区別しない場合は,

$\displaystyle{ \frac{18m^2}{3!} + \frac{9m}{3} + 1 = 3m^2 + 3m + 1}$

通りである.
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