年, 東大理科後期の問題. 基本的なことを考察させる問題なので, とりあげることにした. 問
は重複順列, 問
は重複組合せ, 問
は, (第
種) スターリング数, 問
は自然数の分割に関連している問である.
【問】
【解】
積の法則から 通り.
ボールに区別がなく, 区別された つの箱に入るボールの個数だけを問題にするので,
の解の組の個数を求めることと同じで,
通り.
※ 箱は区別されないので, 番号のついたボールを つ,
つ,
つの順列を考慮しないグループに分けるやり方がそれぞれ何通りかを考察すればよい.
個のボールが
つの箱にすべて入る場合は
通りしかない.
※ スターリング数で書けば,
個のボールが
つの区別された箱に入る (ボールが入らない箱を許す) 場合は,
通りある. これから,
つの箱にすべて入る
通りを除外して,
つの箱のどちらにもボールが入る場合は,
通りとなる.
つの箱は区別しないので,
で割って,
通りとなる.
※ スターリング数で書けば,
個のボールが
つの区別された箱に入る (ボールが入らない箱を許す) 場合は,
通りある.
つ以下の箱にボールがすべて入る場合は,
通りある.
つの箱にすべてボールが入る場合は,
通りなので, 包除原理を適用して,
つのどの箱にもボールが入るのは,
となる. つの箱は区別しないので,
で割って,
通りとなる.
※ スターリング数で書けば,
以上より, つの箱すべてにボールが入る場合,
つの箱すべてにボールが入る場合,
つの箱にすべてのボールが入る場合をすべて加えて,
通りとなる.
問 の結果に,
を代入すると,
となるが, このうち, 解が 個以上同じになった重解をもつ組を, 箱の並びを考慮しない代表組について列挙してみると,
となる. 箱を区別する場合には, 個の解が一致するものが,
組,
個とも一致するものが
組存在する. したがってボールも箱も区別しない場合は,
通りである.
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