ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (271)

2004 年京大理系後期の問題. 重複組合せを使って, 最小限の場合分けで, すっきり解く.

【問】
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【解】

次の  2 通りの場合分けをすればよい.

イ)  1 \leq a \leq  b < c \leq d \leq n
ロ)  1 \leq a < c \leq b < d \leq n

イ) の場合:

記事 (269) と同様にして,  (a,b,c,d) の組の個数を求めることは,


 s_1 + s_2+ s_3 + s_4 + s_5 = n

 s_1 > 0,  s_2 \geq 0,  s_3 > 0, s_4 \geq 0,  s_5 \geq 0


 (s_1,s_2,s_3,s_4,s_5) の整数解の組の個数を求めることと同じである. さらに,

 s_1 = s'_1 + 1,  s_3 = s'_3 + 1

として,


 s'_1 + s_2+ s'_3 + s_4 + s_5 = n-2

 s'_1, s_2, s'_3, s_4, s_5 \geq 0


となり, 整数解の組の個数は,  {}_{n+2}\mathrm{C}_4 となる.

ロ) の場合:

 s_1 + s_2+ s_3 + s_4 + s_5 = n

 s_1 > 0,  s_2 > 0,  s_3 \geq 0, s_4 >  0,  s_5 \geq 0


として, さらに,

 s_1 = s'_1 + 1,  s_2 = s'_2 + 1,
 s_4 = s'_4 + 1

として,


 s'_1 + s'_2+ s_3 + s'_4 + s_5 = n-3

 s'_1, s'_2, s_3, s'_4, s_5 \geq 0


となる. これから, 整数解の組の個数は,  {}_{n+1}\mathrm{C}_4 となる.

イ), ロ) より, 求める解の組の数は,

 \displaystyle{{}_{n+2}\mathrm{C}_4+ {}_{n+1}\mathrm{C}_4
\\=\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{4!}
\\ \quad + \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{4!}
\\ = \frac{n^2(n+1)(n-1)}{12}}

である.
//

次は 1974 年のお茶の水女子大の問題.

【問】
 n 個の整数 1,2, 3, \cdots, n のうちから, 3 個の整数を選ぶとき, どの 2 つの数の差も絶対値が 3 以上となるような選び方はいく通りあるか. ただし,  n7 以上とする.

【解】
 n 個の整数から, 問題の条件を満たすように 3 個の整数を取った後の  n-3 個の状態を考察する. すると, 残った整数の個数を左から順に  x_1, x_2, x_3,  x_4 として,


 x_1 + x_2+x_3 + x_4 = n -3

 x_1 \geq 0,  x_2 \geq 2, x_3 \geq 2,  x_4 \geq 0


を満たす整数解の組の数を求めればよい.

 x_2 =  x'_2 +2,  x_3= x'_3 + 2

として,


 x_1 + x'_2+x'_3 + x_4 = n -7

 x_1 , x'_2 , x'_3, x_4 \geq 0


から, 整数解の組の個数は,

\displaystyle{ {}_{n-4}\mathrm{C}_3 = \frac{(n-4)(n-5)(n-6)}{6}}

となる. //

次は京大 2007 年理系前期の問題.

【問】
得点  1, 2, \cdots, n が等しい確率で得られるゲームを独立に  3 回繰り返す. このとき, 2 回目の得点が 1 回目の得点以上であり, さらに 3 回目の得点が  2 回目の得点以上となる確率を求めよ.

【解】
 1 回目の得点を  s_1, 2 回目の得点を  s_2,  3 回目を s_3 とすれば,

 1 \leq s_1 \leq s_2 \leq s_3 \leq n

だが,   x_1 = s_1,  x_2 = s_2-s_1, x_3 = s_3 -s_2,  x_4 = n - s_3 として,

 x_1 + x_2 + x_3 + x _4 = n
 x_1 \geq 1,  x_2, x_3, x_4 \geq  0

の解の組の個数を求めれば, 問題の条件をみたす試行の得点の組の個数が得られる. 上記の解の組の個数は, 以下のように変換しても同じである.

 x_1 = x'_1 + 1 として,

 x'_1 + x_2 + x_3 + x _4 = n-1
 x'_1, x_2, x_3, x_4 \geq  0

これから, 問題の条件をみたす試行の得点の組は,

\displaystyle{ {}_{n+2}\mathrm{C}_3 = \frac{(n+2)(n+1)n}{6}}

である. 条件のない 3 回の試行の得点の組 (順序対) の総数は,  n^3 であるから, 求める確率  P は,

\displaystyle{ P = \frac{(n+2)(n+1)}{6n^2}}

である.//

1992 年の津田塾大の問題.

【問】
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【解】
(1)
求める格子点の数は,  x+ y \leq n,  x,  y \geq 0 をみたす整数解の組の個数である. この組の個数は,

 x+ y + s = n
 x,  y, s \geq 0

の解の組の個数と同じである. したがって,

\displaystyle{ {}_{n+2}\mathrm{C}_2= \frac{(n+2)(n+1)}{2}}

である.

(2)
同様に,

 x+ y +z+ s = n
 x,  y, z, s \geq 0

の解の組の個数を求めるとよい. したがって,

\displaystyle{ {}_{n+3}\mathrm{C}_3= \frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}}

である.
//