ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (271)

高校数学場合の数と確率

$2004$ 年京大理系後期の問題. 重複組合せを使って, 最小限の場合分けで, すっきり解く.

【問】

【解】

次の $2$ 通りの場合分けをすればよい.

イ) $1 \leq a \leq b < c \leq d \leq n$
ロ) $1 \leq a < c \leq b < d \leq n$

イ) の場合:

記事 $(269)$ と同様にして, $(a,b,c,d)$ の組の個数を求めることは,

$s_1 + s_2+ s_3 + s_4 + s_5 = n-1$

$s_1 \geq 0$ , $s_2 \geq 0$ , $s_3 > 0$ , $s_4 \geq 0$ , $s_5 \geq 0$

の $(s_1,s_2,s_3,s_4,s_5)$ の整数解の組の個数を求めることと同じである. さらに,

$s_3 = s'_3 + 1$

として,

$s'_1 + s_2+ s'_3 + s_4 + s_5 = n-2$

$s'_1, s_2, s'_3, s_4, s_5 \geq 0$

となり, 整数解の組の個数は, ${}_{n+2}\mathrm{C}_4$ となる.

ロ) の場合:

$s_1 + s_2+ s_3 + s_4 + s_5 = n-1$

$s_1 \geq 0$ , $s_2 > 0$ , $s_3 \geq 0$ , $s_4 > 0$ , $s_5 \geq 0$

として, さらに,

$s_2 = s'_2 + 1$ , $s_4 = s'_4 + 1$

として,

$s'_1 + s'_2+ s_3 + s'_4 + s_5 = n-3$

$s'_1, s'_2, s_3, s'_4, s_5 \geq 0$

となる. これから, 整数解の組の個数は, ${}_{n+1}\mathrm{C}_4$ となる.

イ), ロ) より, 求める解の組の数は,

$\displaystyle{{}_{n+2}\mathrm{C}_4+ {}_{n+1}\mathrm{C}_4 \\=\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{4!} \\ \quad + \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{4!} \\ = \frac{n^2(n+1)(n-1)}{12}}$

である.
//

次は $1974$ 年のお茶の水女子大の問題.

【問】
$n$ 個の整数 $1,2, 3, \cdots, n$ のうちから, $3$ 個の整数を選ぶとき, どの $2$ つの数の差も絶対値が $3$ 以上となるような選び方はいく通りあるか. ただし, $n$ は $7$ 以上とする.

【解】
$n$ 個の整数から, 問題の条件を満たすように $3$ 個の整数を取った後の $n-3$ 個の状態を考察する. すると, 残った整数の個数を左から順に $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $x_4$ として,

$x_1 + x_2+x_3 + x_4 = n -3$

$x_1 \geq 0$ , $x_2 \geq 2$ , $x_3 \geq 2$ , $x_4 \geq 0$

を満たす整数解の組の数を求めればよい.

$x_2 = x'_2 +2$ , $x_3= x'_3 + 2$

として,

$x_1 + x'_2+x'_3 + x_4 = n -7$

$x_1 , x'_2 , x'_3, x_4 \geq 0$

から, 整数解の組の個数は,

$\displaystyle{ {}_{n-4}\mathrm{C}_3 = \frac{(n-4)(n-5)(n-6)}{6}}$

となる. //

次は京大 $2007$ 年理系前期の問題.

【問】
得点 $1, 2, \cdots, n$ が等しい確率で得られるゲームを独立に $3$ 回繰り返す. このとき, $2$ 回目の得点が $1$ 回目の得点以上であり, さらに $3$ 回目の得点が $2$ 回目の得点以上となる確率を求めよ.

【解】
$1$ 回目の得点を $s_1$ , $2$ 回目の得点を $s_2$ , $3$ 回目を $s_3$ とすれば,

$1 \leq s_1 \leq s_2 \leq s_3 \leq n$

だが,

$x_1 + x_2 + x_3 + x _4 = n-1$
$x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0$

の解の組の個数を求めれば, 問題の条件をみたす試行の得点の組の個数が以下のように得られる.

$\displaystyle{ {}_{n+2}\mathrm{C}_3 = \frac{(n+2)(n+1)n}{6}}$

である. 条件のない $3$ 回の試行の得点の組 (順序対) の総数は, $n^3$ であるから, 求める確率 $P$ は,

$\displaystyle{ P = \frac{(n+2)(n+1)}{6n^2}}$

である.//

$1992$ 年の津田塾大の問題.

【問】

【解】
$(1)$
求める格子点の数は, $x+ y \leq n$ , $x, y \geq 0$ をみたす整数解の組の個数である. この組の個数は,

$x+ y + s = n$
$x, y, s \geq 0$

の解の組の個数と同じである. したがって,

$\displaystyle{ {}_{n+2}\mathrm{C}_2= \frac{(n+2)(n+1)}{2}}$

である.

$(2)$
同様に,

$x+ y +z+ s = n$
$x, y, z, s \geq 0$

の解の組の個数を求めるとよい. したがって,

$\displaystyle{ {}_{n+3}\mathrm{C}_3= \frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}}$

である.
//