年宮崎大の問題. それぞれの場合分けごとに, 繊細な差異が生じていることに気がついて, 楽しめる一題. 撹乱順列 (完全順列 / モンモールの問題) よりもさらに条件が複雑である.
※ この問題は, その後, Ménage numbers and ladies-first solutions そのもので, 組合せ論では非常に有名なものだということがわかり, とても勉強になった. なお大人 人, 子ども
人のときの子どもの並べ方は, やはり
通りだった. 数列は,
とある.
【問】
【解】
大人を配置する円順列は,
通り.
として,
,
,
に子どもを配置するのは,
,
,
のときしかない. したがって
である.
大人を配置する円順列は,
通り.
として, 背番号
の子どもを配置できるのは,
または
である.
のとき:
に決まるので,
, したがって
である.
のとき:
に決まるので,
, したがって
である.
以上より, である.
大人を配置する円順列は,
通り.
として, 背番号
の子どもを配置できるのは,
,
,
の
つの場合がすべてで排反である. このとき,
には,
,
,
が,
には,
,
,
が常に配置できる. 最初,
,
,
,
,
とおいて, その状態から置換するとすると,
と互換できる (他の並びはひとつに決まってしまう) のは,
と
の
通りだけである. その他の互換にならない場合を以下に求める.
【 のとき】
には,
と
,
には,
と
の子どもが配置できる.
がおけるのは
,
,
がすべてである.
とすると,
, したがって,
,
と
つに決まる.
とすると,
で,この場合
の
通りがある.
とすると,
,
に決まるので,
と
つに決まる. 以上から,
の場合,
通りある.
【 のとき】
には,
と
,
には,
と
の子どもが配置できる.
は互換の場合を除くので,
と
が配置できる.
がおけるのは
,
がすべてである.
とすると,
, したがって, この場合,
の
通りがある.
とすると,
は
だけが許される. この場合,
の
通りがある. 以上から,
の場合,
通りある.
【 のとき】
には,
と
,
には,
と
の子どもが配置できる.
は互換の場合を除くので,
と
が配置できる.
がおけるのは
,
がすべてである.
とすると,
, したがって,
,
と
つに決まる.
とすると,
は
または
である. さらに場合分けして,
とすると, この場合は
になる.
とすると,
に決まるので,
と
つに決まる. 以上から,
の場合,
通りある.
以上から, 大人の配置ひとつあたり, 子どもの配置の仕方は 通りある.
したがって,
である.//
※ 大人 人, 子ども
人のときの子どもの並べ方は
通りだと思う.
が偶数のときと, 奇数のときで場合分けが必要な気がする.
※ 問 の子どもの順列は, 以下の
通りである. すべての要素を動かすのだから
のとき, 置換の型が
と
しかないのは当然である. 互換は隣接する要素の間では生じないので,
は
つしかない.