ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (280)

2018 年の旭川医科大学の問題. 定番だが一応やっておく.

【問】

f:id:noriharu-katakura:20211117111030j:plain

【解】

 T_m: 悪性の疑い
 T_b: 良性の疑い
 N_p: 異常所見なし

POS: 検査陽性
NEG: 検査陰性

とすると,

 \begin{align}
p(T_m) &= \frac{1}{100}\\
p(T_b) &= \frac{2}{100}\\
p(N_p) &= \frac{97}{100}
\end{align}

が, 事前確率である. さらに,

 \begin{align}
p(POS|T_m) &= \frac{95}{100}\\
p(POS|T_b) &= \frac{80}{100}\\
p(NEG|N_p) &= \frac{90}{100}
\end{align}

である.

(1)
 p(POS) 
\\= p(POS \cap (T_m \cup T_b \cup N_p))
\\= p(POS \cap T_m) + p(POS \cap T_b) 
\\ \quad + p(POS \cap N_p)

ここで,

 \displaystyle{p(POS \cap T_m) 
\\= p(POS|T_m)p(T_m)
\\= \frac{95}{100}\cdot \frac{1}{100}
\\=  \frac{95}{100^2}}

 \displaystyle{p(POS \cap T_b) 
\\= p(POS|T_b)p(T_b)
\\= \frac{80}{100}\cdot \frac{2}{100}
\\=  \frac{160}{100^2}}

 \displaystyle{p(POS \cap N_p) 
\\= p(POS|N_p)p(N_p)
\\= \frac{10}{100}\cdot \frac{97}{100}
\\=  \frac{970}{100^2}}

したがって,

 \displaystyle{
p(POS) 
\\= \frac{95+160+970}{100^2}
\\= \frac{1225}{100^2}
\\= \frac{5^2 \cdot 7^2}{100^2}
\\=  \frac{49}{400}}

 (2)
 \displaystyle{p(T_m|POS) 
\\= \frac{p(T_m \cap POS)}{p(POS)}
}

ここで,

 \displaystyle{p(T_m \cap POS) 
\\= p(POS|T_m)p(T_m)
\\= \frac{95}{100} \cdot \frac{1}{100}
\\=  \frac{95}{100^2}}

したがって,

 \displaystyle{p(T_m|POS) 
\\= \frac{95}{5^2\cdot 7^2}
\\= \frac{19}{245}
}

 (3)
 \displaystyle{p(NEG|T_b \cup N_p) 
\\= \frac{p(NEG \cap (T_b \cup N_p))}{p(T_b \cup N_p)}
\\= \frac{p(NEG \cap T_b) + p(NEG \cap N_p)}{p(T_b)+ p(N_p)}
}

ここで,

 \displaystyle{
p(T_b) + p(N_p) = \frac{99}{100}
}

 \displaystyle{
p(NEG \cap T_b) + p(NEG \cap N_p)
\\= p(NEG|T_b)p(T_b) +  p(NEG|N_p)p(N_p)
\\= \{1-p(POS|T_b) \}p(T_b)
\\ \quad +  p(NEG|N_p)p(N_p)
\\= \frac{20}{100}\cdot \frac{2}{100} + \frac{90}{100}\cdot \frac{97}{100}
\\=  \frac{40 + 97\cdot 90}{100^2}
}

したがって,

 \displaystyle{p(NEG|T_b \cup N_p) 
\\= \frac{40+97\cdot 90}{100 \cdot 99}
\\= \frac{4+97\cdot 9}{10 \cdot 99}
\\=\frac{877}{990}
}

である.

 \begin{align}
990 &= 1\cdot 877 + 113\\
877 &= 7 \cdot 113 + 86\\
  113 &= 1 \cdot 86 + 27\\
    86 &= 3 \cdot 27 + 5\\
    27 &= 5 \cdot 5 + 2\\
     5 &= 2\cdot 2 + 1
\end{align}
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