関数 (続き) - ノリの悪い日記

前回の続きだが, 中学数学からはちょっと逸脱する.

集合 $X$ から集合 $Y$ への関数 $F$ があって, その要素 $(x, y)$ の順番を反転した対 $(y, x )$ の集合が集合 $Y$ から集合 $X$ への関数になる条件を調べるには, 前回の記事で取り上げた関数の定義を素直に確認すればよい.

まず, 任意の $y \in Y$ について対 $(y, x )$ の $x$ が存在することである. つまり $y = F(x)$ となる $x$ が存在することであるが, このことを関数 $F$ が「全射」であるというのだった.

さらに, $y = F(x)$ となる $x$ がただ $1$ つであることであるが, この条件は関数 $F$ が「単射」であるというのだった. 同じことだが, 任意の $x_1, x_2 \in X$ について, $F(x_1) = F(x_2)$ ならば $x_1 = x_2$ であるといったり, その対偶をとっていわれることが多い.

以上をまとめると, 対 $(y,x)$ の集合が集合 $Y$ から集合 $X$ への関数となるには, 任意の $y \in Y$ について $y = F(x)$ となる $x \in X$ が存在して, かつそのような $x$ はただ $1$ つであるという「全単射」条件が満たされていればよい. この関数を $F$ の「逆関数」と呼び $F^{-1}$ と書いたりするのだった.

次に合成関数について触れておくと,

$F$ を集合 $X$ から集合 $Y$ への関数, $G$ を集合 $Y$ から集合 $Z$ への関数だとする. すると任意の $x \in X$ について対 $(x, G(F(x)))$ を作るとその対の集合は容易に分かるように関数となる. これを $G$ と $F$ の合成関数と呼び, $G \circ F$ と書く.

関数 $F$ と関数 $G$ がともに単射 / ともに全射 / ともに全単射のときは, $G \circ F$ はそれぞれ単射 / 全射 / 全単射である. 証明は省略する.

$G \circ F$ が単射であるならば $F$ は単射であるが, $G$ は単射であるとは限らない.

【 $F$ が単射である証明】

$G \circ F$ は単射であるから, 任意の $x_1, x_2 \in X$ について, $x_1 \neq x_2$ ならば $G(F(x_1)) \neq G(F(x_2))$ である.

$G$ は関数であるから, $G(F(x_1)) \neq G(F(x_2))$ ならば $F(x_1) \neq F(x_2)$ である .

したがって, 任意の $x_1, x_2 \in X$ について, $x_1 \neq x_2$ ならば $F(x_1) \neq F(x_2)$ であることが言え, $F$ は単射である. //

【 $G$ が単射であることの反例】

$X = \{x\}$ , $Y= \{y_1, y_2\}$ , $Z= \{z\}$

として,

$F = \{(x, y_1)\}$ , $G = \{(y_1, z), (y_2, z)\}$

とすれば,

$G \circ F = \{(x,z)\}$

だが, $G \circ F$ は (前提 $\forall x_1, \forall x_2, x_1 \neq x_2$ の真集合が空なので) 単射であり, $G$ は単射ではない. //

また $G \circ F$ が全射であるならば $G$ は全射であるが, $F$ は全射であるとは限らない.

【 $G$ が全射である証明】

$G \circ F$ は,全射なので, 任意の $z \in Z$ について, $z = G \circ F (x)$ となる $x \in X$ が存在する. したがって, $F(x) \in Y$ が存在するので, $G$ は全射である. //

【 $F$ が全射であることの反例】

$X = \{x\}$ , $Y= \{y_1, y_2\}$ , $Z= \{z\}$

として,

$F = \{(x, y_1)\}$ , $G = \{(y_1, z), (y_2, z)\}$

とすれば,

$G \circ F = \{(x,z)\}$

だが, $G \circ F$ は全射であり, $F$ は全射ではない. //

$F: X \rightarrow Y$ , $G: Y \rightarrow X$ とし, $X \rightarrow X$ , $Y \rightarrow Y$ の恒等関数をそれぞれ $id_X$ , $id_Y$ とする.

$G \circ F = id_X$ かつ $F \circ G = id_Y$ ならば, $G = F^{-1}$ である.

※ 関数 $G$ が逆関数であると予想できる場合, 実際にそうであることを示したり, $F$ が全単射であることを示すときに便利である.

【証明】

恒等関数は全単射であるから, 上で証明したことより, 関数 $F$ , $G$ は全単射である. $F$ が全単射であるから, 任意の $y \in Y$ に対して, $y = F(x)$ となる $x \in X$ がひとつ定まるので, $F^{-1}(y) = x$ である. 一方,

$\begin{align} G(y) &= G(F(x)) \\ &= G\circ F (x)\\ &= id_X(x)\\ &= x \end{align}$

であるから, 任意の $y \in Y$ に対して $G(y)=F^{-1}(y)$ となり, これから $G = F^{-1}$ がいえる. //

任意の集合 $X$ , $Y$ , $Z$ について, 任意の関数 $F: Y \rightarrow Z$ と, $X$ から $Y$ への任意の関数 $G$ , $H$ を考える.

関数 $F$ が単射であることと, 「 $F \circ G = F \circ H$ ならば $G = H$ である」は同値である.

【証明】
関数 $F$ が単射であることと, $F \circ G = F \circ H$ を仮定する. 任意の $x \in X$ について,

$F(G(x)) = F (H(x))$

であり, $F$ は単射であるから,

$G(x) = H(x)$

となり, $G = H$ である.

次に, 「 $F \circ G = F \circ H$ ならば $G = H$ である」とし, $F$ が単射でないとする. すると, $F (y_1) = F(y_2)$ であって, $y_1 \neq y_2$ である $y_1, y_2 \in Y$ が存在する. $X = \{x\}$ として, $G(x) = y_1$ , $H(x) = y_2$ とする. そうすると, $F \circ G = F \circ H$ であるが, $G \neq H$ となって矛盾する.//

任意の集合 $X$ , $Y$ , $Z$ について, 任意の関数 $F: X \rightarrow Y$ と $Y$ から $Z$ への任意の関数 $G$ , $H$ を考える.

関数 $F$ が全射であることと, 「 $G \circ F = H \circ F$ ならば $G = H$ である」は同値である.

【証明】
関数 $F$ が全射であることと, $G \circ F = H \circ F$ を仮定する. $F$ は全射だから, 任意の $y \in Y$ について, $y = F(x)$ となる $x \in X$ が存在する.

$G(y) = G(F(x)) = H(F(x)) = H(y)$

となり, $G = H$ である.

次に, 「 $G \circ F = H \circ F$ ならば $G = H$ である」とし, $F$ が全射でないとする. すると, 任意の $x \in X$ について $y' \neq F(x)$ となる $y' \in Y$ が存在する. $Z = \{0, 1\}$ として, $G(y') = 1$ とし, $y \neq y'$ については $G(y) = 0$ として関数 $G$ を定める. また, 関数 $H$ は任意の $y \in B$ で $H(y) = 0$ とする. そうすると, $G \circ F = H \circ F$ であるが, $G \neq H$ となって矛盾する.//