比例 - ノリの悪い日記

なんとなくしか覚えていないが, 数学教育の現代化がいわれていた時代だから, 中学 $1$ 年の数学の教科書にある「関数」の定義は「 $2$ つの集合 $X$ , $Y$ があって, $X$ のどの要素 $x$ に対しても, $Y$ の要素 $y$ がただ $1$ つだけ対応するとき, その対応を $X$ から $Y$ への関数という. またこのとき, 『 $y$ は $x$ の関数である』ともいう」だったらしい.

いまのテキストでも「対応する」という言葉が関数の定義には使われているが, 自分の中ではそれを「対 (pair) にする」とした方がわかりやすい. さらにその「対」のことを $(x, y)$ と記号で書くと定義すればよい. $(x, y)$ は普通「座標」と呼ばれているが, 大学になると急に「順序対」などと言い出す. なんと呼ぶにしろ, $(x, y)$ は , $X$ の要素 $x$ と $Y$ の要素 $y$ を「対応」させたものである. それぞれの要素 $x$ と対になる $y$ が存在し, しかもその $y$ はちょうど $1$ つだけあるということと, それぞれの要素 $x$ について, 対 $(x, y)$ はちょうど $1$ つだけあるということは同じことである.

そうすると, 先程の定義は

「 $2$ つの集合 $X$ , $Y$ ( $Y$ は空集合でないとする) があって, $X$ のどの要素 $x$ に対しても, $Y$ の要素 $y$ との対 $(x, y)$ をちょうど $1$ つ作るとき, その対 $(x,y)$ 全体がつくる集合 $F$ *1を $X$ から $Y$ への関数 $F$ という*2. またこのとき, “ $y$ は $x$ における関数 $F$ の値である” という. *3」

とでもなるだろうか. *4

対 $(x,y)$ は座標のことに他ならないのだから, 「座標全体の集合」とは, グラフに他ならない. *5つまり, 関数とそのグラフをいちいち区別しないという立場である. 関数のグラフを書いて, それぞれの $x$ から $y$ 軸に平行に直線を引いて, その直線が考えているグラフと例外なくちょうど $1$ 点で交わるならばそのグラフは「関数」である.

比例は「単位あたりの量」が分かっていればそんなに難しくない.

たとえば, 時間と距離が比例 (時間から距離の比例関数を $F$ で表わす) している状況で, $(1 \ \mathrm{h}, 200\ \mathrm{km})$ だとすると,

$200 \ \mathrm{km} = F(1 \ \mathrm{h})$

比例とは $x$ が $k$ 倍になれば, $y$ も $k$ 倍になる関数のことだから, $(x \ \mathrm{h}, y \ \mathrm{km})$ だとすると,

$y\ \mathrm{km} \\= F(x \ \mathrm{h}) \\= F(1 \ \mathrm{h} \times x) \\= F( 1 \ \mathrm{h}) \times x \\= 200 \ \mathrm{km} \times x \\= 200x \ \mathrm{km}$