ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (291)

2021 共通テスト, 数 2B から.

【問】
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【解】
(1)
 a_n = 3 + (n-1)p
 b_n = 3 r^{n-1}

ra_n-2a_{n+1} + 3r = 0

から,

 2a_{n+1} = r(a_n + 3)

したがって,

 6 + 2np = r\{6+(n-1)p\}
 (r-2)pn = r(p -6) + 6

 n について恒等的に成り立ち,  p \neq 0 より,

 r = 2,  p =3

したがって,

 a_n = 3 + 3(n-1) = 3n
 b_n = 3\cdot 2 ^{n-1}

(2)
 \begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{n} a_n &=& \sum_{k=1}^{n} 3k
\\&=& \frac{3}{2}n(n+1)
\end{eqnarray}

 \begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{n} b_n  &=& \sum_{k=1}^{n} 3\cdot 2 ^{k-1}
\\&=& 3(2^n -1)
\end{eqnarray}

(3)
 a_n c_{n+1} - 4a_{n+1}c_n +3c_{n+1} = 0

 (a_n +3) c_{n +1} = 4a_{n+1}c_n

 \begin{eqnarray}
c_{n+1} &=& \frac{4a_{n+1}}{a_n + 3} c_n
\\&=& \frac{12(n+1)}{3(n+1)}c_n
\\&=& 4c_n
\end{eqnarray}

したがって, 公比が 1 よりも大きい等比数列である.

(4)

 d_nb_{n+1}-qd_{n+1}b_n+ ub_{n+1} = 0

 \displaystyle{
d_{n+1} = \frac{2}{q} (d_n+u)
}

したがって, \{d_n\} が条件をみたす等比数列であるためには,  u = 0

 \displaystyle{0 < \frac{2}{q} < 1}

つまり,  0 < q かつ  q(q-2) >0

したがって,  \displaystyle{q > 2} をみたすことが必要十分である.
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