ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (291)

高校数学

$2021$ 共通テスト, 数 $2B$ から.

【問】
f:id:noriharu-katakura:20211127200659j:plain

【解】
$(1)$
$a_n = 3 + (n-1)p$
$b_n = 3 r^{n-1}$

$ra_n-2a_{n+1} + 3r = 0$

から,

$2a_{n+1} = r(a_n + 3)$

したがって,

$6 + 2np = r\{6+(n-1)p\}$
$(r-2)pn = r(p -6) + 6$

$n$ について恒等的に成り立ち, $p \neq 0$ より,

$r = 2$ , $p =3$

したがって,

$a_n = 3 + 3(n-1) = 3n$
$b_n = 3\cdot 2 ^{n-1}$

$(2)$
$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} a_n &=& \sum_{k=1}^{n} 3k \\&=& \frac{3}{2}n(n+1) \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} b_n &=& \sum_{k=1}^{n} 3\cdot 2 ^{k-1} \\&=& 3(2^n -1) \end{eqnarray}$

$(3)$
$a_n c_{n+1} - 4a_{n+1}c_n +3c_{n+1} = 0$

$(a_n +3) c_{n +1} = 4a_{n+1}c_n$

$\begin{eqnarray} c_{n+1} &=& \frac{4a_{n+1}}{a_n + 3} c_n \\&=& \frac{12(n+1)}{3(n+1)}c_n \\&=& 4c_n \end{eqnarray}$

したがって, 公比が $1$ よりも大きい等比数列である.

$(4)$

$d_nb_{n+1}-qd_{n+1}b_n+ ub_{n+1} = 0$

$\displaystyle{ d_{n+1} = \frac{2}{q} (d_n+u) }$

したがって, $\{d_n\}$ が条件をみたす等比数列であるためには, $u = 0$ で

$\displaystyle{0 < \frac{2}{q} < 1}$

つまり, $0 < q$ かつ $q(q-2) >0$

したがって, $\displaystyle{q > 2}$ をみたすことが必要十分である.
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