難問揃いで知られる 年の東大理科の問題のひとつ. 眠いし, かなり難易度高いので, まず問
だけやった.
も普通に解こうとするとすごいことになりそうなので, 記事
の平均変化率の方法を活用して解くことを考えた.
※ 問 もその後, 解いたので, この記事に追記する. 対称性を利用することをなかなか思いつかなかった.
【問】
【解】
まず, の条件を使って,
とおく. 微分すると,
で極大,
で極小をとるとすると,
,
から,
,
と上の式を使って,
となり, 両式の各辺をそれぞれ足して, より,
また, 両式の各辺をそれぞれ引いて,
となる.
から,
なので, となり, これから,
,
で,
式から,
となる. 以上より,
は
,
,
,
をとる連続な関数だから, 問の条件を満たす
は,
,
,
でそれぞれ少なくとも
回,
と交るが, 交点の総数は
を超えることはないから, 結局,
で,
は,
とちょうど
回交わる. したがって,
で,
は,
と交点を持つことはない.
まったく, 同様の議論を, 今度は について考察すると,
で,
は,
とちょうど
回交わる. したがって,
で,
は,
と交点を持つことはない.
そうすると, で
は,
を常にみたす. つまり,
をみたす.
※ ややこしく書くとこうなる.
中間値の定理を使うために, 実数全体で連続な を定義すると,
,
である. したがって, 中間値の定理から,
となる
が少なくともひとつ存在する.
さらに, または
であれば, 中間値の定理から,
となる
が,
,
にそれぞれ少なくともひとつ存在する. また,
または
であれば, その点が交点である. なお,
,
は
が連続であることに矛盾する.
次多項式の交点の総数は
を超えることはないから, 結局,
で,
は,
とちょうど
回交わる.
上のことから, で,
と
は交点をもたない. したがって,
とならず, 中間値の定理 (の対偶) により,
(
のときは,
) と異符号にもならないので,
である.
同様に, では,
とならず,
(
のときは,
) と異符号にもならないので,
である.
同じ議論を ですれば,
では,
,
では,
である.
以上併せて, で,
が成立し, でも,
が成立する. つまり, で,
がいえた.
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※ 問 の別解.
まず, の条件を使って,
とするところまでは同じ. は,
と極大値 (
) のところで接点を持つので,
としたとき,
は, 重解をもつ. したがって,
なお, 解と係数の関係から, であることもわかる.
同様に は,
と極小値 (
) のところで接点を持つので,
としたとき,
は, 重解をもつ. したがって,
なお, 解と係数の関係から, であることもわかる.
から,
,
が出て,
と求まる. また,
,
である.
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※ 次関数のグラフの対称性を利用すると, 問
は更に簡単に解ける.
まず, グラフの対称性 (いわゆる, " ルール") から, 極大, 極小の点がそれぞれ,
,
であることがわかる.
から,
で, 解と係数の関係から,
, したがって,
となる. また,
なので,
,
である.
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