ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (252)

ファインマンの経路積分は難しいけれども, ファインマンの微分は, 大学入試問題にも使える. 2020 年の大阪大学理系の問題から.

【問】
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【解】
(1)

 \displaystyle{
f'(x) 
\\= (x+1)^{\frac{1}{x+1}}\left\{\frac{1}{x+1}\cdot\frac{(1+x)'}{x+1} 
\\ \quad+\left(\frac{1}{x+1}\right)'\log{(x+1)}\right\}
}
 \displaystyle{
=(x+1)^{\frac{1}{x+1}-2} \{1-\log{(x+1)}\}
}

 f'(x) = 0 のとき,  1-\log{(x+1)} = 0 だから,  x = e -1 である. 対数関数は単調増加だから, x< e-1 のとき,  f'(x) > 0, x> e-1 のとき,  f'(x) < 0 である. したがって,  f(x) は,  x = e-1 で最大値

 \displaystyle{f(e-1) =e^{\frac{1}{e}}}

をとる.

(2)

 \displaystyle{f(x) = e^{\log{f(x)}}}

と表わすことができるから,

 \displaystyle{\lim_{x \to \infty}\log{f(x)}
\\= \lim_{x \to \infty} \frac{\log{(x+1)}}{x+1}
\\ = 0
}

したがって,

 \displaystyle{\lim_{x \to \infty}f(x) = 1}

一方,

 \displaystyle{
 \lim_{x \to \infty}f'(x) 
\\= \lim_{x \to \infty} f(x)\cdot
\\ \quad \left\{\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{x+1}\cdot \frac{\log{(x+1)}}{x+1}\right\}
\\=0
}

(3)

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