陥没地帯 (252) - ノリの悪い日記

ファインマンの経路積分は難しいけれども, ファインマンの微分は, 大学入試問題にも使える. $2020$ 年の大阪大学理系の問題から.

【問】
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【解】
$(1)$

$\displaystyle{ f'(x) \\= (x+1)^{\frac{1}{x+1}}\left\{\frac{1}{x+1}\cdot\frac{(1+x)'}{x+1} \\ \quad+\left(\frac{1}{x+1}\right)'\log{(x+1)}\right\} }$
$\displaystyle{ =(x+1)^{\frac{1}{x+1}-2} \{1-\log{(x+1)}\} }$

$f'(x) = 0$ のとき, $1-\log{(x+1)} = 0$ だから, $x = e -1$ である. 対数関数は単調増加だから, $x< e-1$ のとき, $f'(x) > 0$ , $x> e-1$ のとき, $f'(x) < 0$ である. したがって, $f(x)$ は, $x = e-1$ で最大値

$\displaystyle{f(e-1) =e^{\frac{1}{e}}}$

をとる.

$(2)$

$\displaystyle{f(x) = e^{\log{f(x)}}}$

と表わすことができるから,

$\displaystyle{\lim_{x \to \infty}\log{f(x)} \\= \lim_{x \to \infty} \frac{\log{(x+1)}}{x+1} \\ = 0 }$

したがって,

$\displaystyle{\lim_{x \to \infty}f(x) = 1}$

一方,

$\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}f'(x) \\= \lim_{x \to \infty} f(x)\cdot \\ \quad \left\{\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{x+1}\cdot \frac{\log{(x+1)}}{x+1}\right\} \\=0 }$

$(3)$

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