ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (167)

高校数学

グラフ $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$ , $y$ 軸方向に $q$ 移動したときのグラフ $y = g(x)$ がどう表せるのかというのに混乱する子が多い。

うーん!?……

移動後のグラフ $y=g(x)$ 上の点 $(x, y)$ は　 $(x, g(x))$ と表せるが、その座標は、グラフ $y = f(x)$ の点 $(x-p, f(x-p))$ を $x$ 方向に $p$ , $y$ 方向に $q$ だけ移動させることによっても表すことができるのだから、

$(x, y) \\= (x, g(x)) \\= (x-p, f(x-p))+(p,q) \\=(x, f(x-p)+q)$

となり、

$y = f(x-p)+ q$

結局、

$y -q = f(x-p)$

である。平面の任意の点 $(x,y)$ が、 $y = g(x)$ を満たすことと $y -q = f(x-p)$ を満たすことは同値である。

数 III を含めて、グラフ $F(x,y) = 0$ (陰関数表示で表したが, $y = f(x)$ の陽関数表示でも同じ) の変換が下のように $7$ つほど高校数学に出てくる。最初に出てくるのは数 I の二次関数のところかなあ。このうち 1),2),6) が混乱しやすい。

1) $x$ 方向に $p$ , $y$ 方向に $q$ 平行移動

$F(x -p, y -q) = 0$

2) $x$ 方向に $p$ 倍, $y$ 方向に $q$ 倍拡大/縮小 ( $p,q \neq 0$ )

$\displaystyle{F\left (\frac{x}{p}, \frac{y}{q}\right ) = 0}$

3) $x$ 軸に対称移動

$F (x, -y) = 0$

※ $y= a$ に対称移動するには,
$F (x, y+a)=0$ , $F(x, -y+a)=0$ , $F(x, 2a-y)=0$ と順に考えればよい

4) $y$ 軸に対称移動

$F(-x, y) = 0$

※ $x = a$ に対称移動するには,
$F (x+a, y)=0$ , $F(-x+a, y)=0$ , $F(2a-x,y)=0$ と順に考えればよい

5) 原点に対称移動

$F(-x, -y) = 0$

※ $(a,b)$ に対称移動するには,
$F(2a-x, 2b -y)=0$

6) 原点を中心として $\theta$ だけ回転移動

$F(x\cos \theta + y \sin \theta, - x\sin \theta + y\cos \theta)=0$

※ 複素数の知識から, 点 $x + iy$ を $-\theta$ だけ回転した点,

$(x + iy)(\cos \theta - i \sin \theta)$

を計算して実部、虚部を求めればよい。

7) 逆像 ( $y = x$ に関して対称移動)

$F (y, x ) = 0$

高校数学の標準的な例題としては、以下のようなものである。

【問】次の円の周上の点 $A(4,6)$ における接線の方程式を求めよ。

$(x-1)^2 + (y-2)^2=25$

【解】
$(-1, -2)$ だけ平行移動すると、点 $A$ は $(3,4)$ , 円の方程式は $x^2 + y^2=25$ に移る。 $(3,4)$ を通る $x^2 + y^2=25$ の接線の方程式は、

$3x+4y=25$

であり、この接線を $(1,2)$ だけ平行移動して、求める接線の方程式、

$3(x-1)+4(y-2)=25$
$3x+4y=36$

を得る。//