ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (167)

高校数学

グラフ $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$ , $y$ 軸方向に $q$ 移動したときのグラフ $y = g(x)$ がどう表せるのかというのに混乱する子が多い。

うーん!?……

移動後のグラフ $y=g(x)$ 上の点 $(x, y)$ は　 $(x, g(x))$ と表せるが、その座標は、グラフ $y = f(x)$ の点 $(x-p, f(x-p))$ を $x$ 方向に $p$ , $y$ 方向に $q$ だけ移動させることによっても表すことができるのだから、

$(x, y) \\= (x, g(x)) \\= (x-p, f(x-p))+(p,q) \\=(x, f(x-p)+q)$

となり、

$y = f(x-p)+ q$

結局、

$y -q = f(x-p)$

である。平面の任意の点 $(x,y)$ において、 $y = g(x)$ であることと $y -q = f(x-p)$ であることは、明らかに同値である。

座標系を移動させて新しい座標系から古い座標を見るという説明もできるがやめにすることにした。一般化は数学的な考え方がもっと成熟した後でやればよい。

数 III を含めて、グラフ $F(x,y) = 0$ の変換が下のように $7$ つほど高校数学に出てくる。最初に出てくるのは数 I の二次関数のところかなあ。このうち 1),2),6) が混乱しやすい。

1) $x$ 方向に $p$ , $y$ 方向に $q$ 平行移動

$F(x -p, y -q) = 0$

2) $x$ 方向に $p$ 倍, $y$ 方向に $q$ 倍拡大/縮小 ( $p,q \neq 0$ )

$\displaystyle{F\left (\frac{x}{p}, \frac{y}{q}\right ) = 0}$

3) $x$ 軸に対称移動

$F (x, -y) = 0$

4) $y$ 軸に対称移動

$F(-x, y) = 0$

5) 原点に対称移動

$F(-x, -y) = 0$

6) 原点を中心として $\theta$ だけ回転移動

$F(x\cos \theta + y \sin \theta, - x\sin \theta + y\cos \theta)=0$

7) 逆像 ( $y = x$ に関して対称移動)

$F (y, x ) = 0$

※ 6) は

$(x + iy)(\cos \theta - i \sin \theta)$

を計算して実部、虚部を求めればよい。

高校数学の標準的な例題としては、以下のようなものである。

【問】次の円の周上の点 $A(4,6)$ における接線の方程式を求めよ。

$(x-1)^2 + (y-2)^2=25$

【解】
$(-1, -2)$ だけ平行移動すると、点 $A$ は $(3,4)$ , 円の方程式は $x^2 + y^2=25$ に移る。 $(3,4)$ を通る $x^2 + y^2=25$ の接線の方程式は、

$3x+4y=25$

であり、この接線を $(1,2)$ だけ平行移動して、求める接線の方程式、

$3(x-1)+4(y-2)=25$
$3x+4y=36$

を得る。//