ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (168)

二次方程式の解の配置に類する問題って、退屈な計算だけれども、高校数学の定番である。

【問】
 ax^2+(1-5a)x+6a = 0 2 解 (重解含む) がともに  1 より大きいための条件を求めよ。

【解】
 a \neq 0 としてよいから、

 \displaystyle{x^2 +\left(\frac{1}{a}-5\right)x+6 = 0}

として、 \displaystyle{2b = - \frac{1}{a}+5} とおけば、

 x^2 -2bx+6 = 0
 (x-b)^2+6-b^2 = 0

グラフを  x 軸方向に  -b 移動すると

 x^2+6-b^2 = 0

 x が実解 (重解含む) をもつ条件として、

 b^2 -6 \geq 0

つまり 

 b \leq -\sqrt{6}, \ b \geq \sqrt{6} \tag{1}

 2 解はともに  1-b よりも大きいという条件は、

 1-b \lt -\sqrt{b^2-6}
 b-1 \gt  \sqrt{b^2-6}

であるが、同値変形すると

 b-1 \gt 0

かつ

 (b-1)^2 \gt b^2 -6

であり、整理すると

 \displaystyle{1 \lt b  \lt \frac{7}{2} \tag{2}}

 (1) かつ  (2) より  2b は、

 2\sqrt{6} \leq 2b \lt 7

を充す必要があり、これから

 \displaystyle{2\sqrt{6} \leq - \frac{1}{a}+5 \lt 7}
 \displaystyle{-2 \lt \frac{1}{a} \leq 5 -2\sqrt{6}}
 \displaystyle{-2a^2 \lt a \leq (5 -2\sqrt{6})a^2}

つまり、

 \displaystyle{\left \{ \begin{array}{l}a(2a + 1) \gt 0 \\ a\{(5 -2\sqrt{6})a-1\} \geq 0 \end{array} \right.}

以上より、求める条件は、

 \displaystyle{ a \lt -\frac{1}{2}, \ a \geq 5 + 2 \sqrt{6}}
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