ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (168)

高校数学

二次方程式の解の配置に類する問題って, 退屈な計算だけれども, 高校数学の定番である.

【問】
$ax^2+(1-5a)x+6a = 0$ の $2$ 解 (重解含む) がともに $1$ より大きいための条件を求めよ.

【解】
$2$ 解をもつので, $a \neq 0$ としてよいから,

$\displaystyle{x^2 +\left(\frac{1}{a}-5\right)x+6 = 0}$

として, $\displaystyle{2b = - \frac{1}{a}+5}$ とおけば,

$x^2 -2bx+6 = 0$
$(x-b)^2+6-b^2 = 0$

グラフを $x$ 軸方向に $-b$ 移動すると,

$x^2+6-b^2 = 0$

$x$ が実解 (重解含む) をもつ条件として,

$b^2 -6 \geq 0$

つまり,

$b \leq -\sqrt{6}, \ b \geq \sqrt{6} \tag{1}$

$2$ 解はともに $1-b$ よりも大きいという条件は,

$1-b \lt -\sqrt{b^2-6}$
$b-1 \gt \sqrt{b^2-6}$

であるが, $b^2 -6 \geq 0$ という条件の下で, 同値変形すると

$b-1 \gt 0$

かつ

$(b-1)^2 \gt b^2 -6$

であり, 整理すると

$\displaystyle{1 < b < \frac{7}{2} \tag{2}}$

$(1)$ かつ $(2)$ より $2b$ は,

$2\sqrt{6} \leq 2b \lt 7$

を満足する. これから

$\displaystyle{2\sqrt{6} \leq - \frac{1}{a}+5 \lt 7}$
$\displaystyle{-2 \lt \frac{1}{a} \leq 5 -2\sqrt{6}}$
$\displaystyle{-2a^2 \lt a \leq (5 -2\sqrt{6})a^2}$

つまり,

$\displaystyle{\left \{ \begin{array}{l}a(2a + 1) \gt 0 \\ a\{(5 -2\sqrt{6})a-1\} \geq 0 \end{array} \right.}$

以上より, 求める条件は,

$\displaystyle{ a \lt -\frac{1}{2}}$ または $\displaystyle{\ a \geq 5 + 2 \sqrt{6}}$
//

※ 解と係数の関係を使った方が楽である.