ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (168)

雑記

二次方程式の解の配置に類する問題って、退屈な計算だけれども、高校数学の定番である。

【問】
$ax^2+(1-5a)x+6a = 0$ の $2$ 解 (重解含む) がともに $1$ より大きいための条件を求めよ。

【解】
$a \neq 0$ としてよいから、

$\displaystyle{x^2 +\left(\frac{1}{a}-5\right)x+6 = 0}$

として、 $\displaystyle{2b = - \frac{1}{a}+5}$ とおけば、

$x^2 -2bx+6 = 0$
$(x-b)^2+6-b^2 = 0$

グラフを $x$ 軸方向に $-b$ 移動すると

$x^2+6-b^2 = 0$

$x$ が実解 (重解含む) をもつ条件として、

$b^2 -6 \geq 0$

つまり　

$b \leq -\sqrt{6}, \ b \geq \sqrt{6} \tag{1}$

$2$ 解はともに $1-b$ よりも大きいという条件は、

$1-b \lt -\sqrt{b^2-6}$
$b-1 \gt \sqrt{b^2-6}$

であるが、同値変形すると

$b-1 \gt 0$

かつ

$(b-1)^2 \gt b^2 -6$

であり、整理すると

$\displaystyle{1 \lt b \lt \frac{7}{2} \tag{2}}$

$(1)$ かつ $(2)$ より $2b$ は、

$2\sqrt{6} \leq 2b \lt 7$

を充す必要があり、これから

$\displaystyle{2\sqrt{6} \leq - \frac{1}{a}+5 \lt 7}$
$\displaystyle{-2 \lt \frac{1}{a} \leq 5 -2\sqrt{6}}$
$\displaystyle{-2a^2 \lt a \leq (5 -2\sqrt{6})a^2}$

つまり、

$\displaystyle{\left \{ \begin{array}{l}a(2a + 1) \gt 0 \\ a\{(5 -2\sqrt{6})a-1\} \geq 0 \end{array} \right.}$

以上より、求める条件は、

$\displaystyle{ a \lt -\frac{1}{2}, \ a \geq 5 + 2 \sqrt{6}}$
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