ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (105)

高校物理では、角運動量の保存が面積速度一定としてしか出てこないので補足しておく。

二次元極座標の計算は面倒なので複素平面でやった方が簡単な場合がある.  r_x = r \cos \theta,  r_y=r\sin \theta をそれぞれ,  r \exp(i\theta) の実数部、虚数部と解釈すればよい.  r_r, \ r_{\theta} を求めるには,  r \exp (i\theta) -\theta 回転させて (つまり  \exp (-i \theta) をかければよい) から, それぞれ実数部, 虚数部をとればよい. つまり二次元極座標表示では,  r_r = r,\  r_{\theta} = 0 である.

速度を求めるために、  r \exp (i\theta) を時間で微分して  -\theta 回転させると、

 \dot{r} + i r\dot{\theta}

だから、

 v_r = \dot{r},\ v_{\theta} = r\dot{\theta}

である。

加速度を求めるために、  r \exp (i\theta) を時間で二階微分して  -\theta 回転させると、

 \ddot{r} - r\dot{\theta}^2+ i (2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})

だから、

 \displaystyle{\begin{align} 
a_r &= \ddot{r} - r\dot{\theta}^2\\
a_{\theta} &= 2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta}\\
&= \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(r^2\dot{\theta})
\end{align}}

となる。 a_{\theta} を見れば  F_{\theta} = 0 であれば、角運動量 (面積速度) が保存することがわかるし、  F_{\theta} \neq 0 であれば、

 \displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(mr^2\dot{\theta}) = rF_{\theta}}

であることもわかる。