陥没地帯 (105) - ノリの悪い日記

高校物理では、角運動量の保存が面積速度一定としてしか出てこないので補足しておく。

二次元極座標の計算は面倒なので複素平面でやった方が簡単な場合がある. $r_x = r \cos \theta$ , $r_y=r\sin \theta$ をそれぞれ, $r \exp(i\theta)$ の実数部、虚数部と解釈すればよい. $r_r, \ r_{\theta}$ を求めるには, $r \exp (i\theta)$ を $-\theta$ 回転させて (つまり $\exp (-i \theta)$ をかければよい) から, それぞれ実数部, 虚数部をとればよい. つまり二次元極座標表示では, $r_r = r,\ r_{\theta} = 0$ である.

速度を求めるために、 $r \exp (i\theta)$ を時間で微分して $-\theta$ 回転させると、

$\dot{r} + i r\dot{\theta}$

だから、

$v_r = \dot{r},\ v_{\theta} = r\dot{\theta}$

である。

加速度を求めるために、 $r \exp (i\theta)$ を時間で二階微分して $-\theta$ 回転させると、

$\ddot{r} - r\dot{\theta}^2+ i (2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})$

だから、

$\displaystyle{\begin{align} a_r &= \ddot{r} - r\dot{\theta}^2\\ a_{\theta} &= 2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta}\\ &= \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(r^2\dot{\theta}) \end{align}}$

となる。 $a_{\theta}$ を見れば $F_{\theta} = 0$ であれば、角運動量 (面積速度) が保存することがわかるし、 $F_{\theta} \neq 0$ であれば、

$\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(mr^2\dot{\theta}) = rF_{\theta}}$

であることもわかる。