年, 京大理系の問題. データは規格化して扱うという方針で最初やってみたが, 結局最後はそんなことをしなくても解けることがわかった, あっけない問題である.
【問】
個 (
) の実数
があり, 各
は他の
個の相加平均よりも大きくはないという. このような,
の組をすべて求めよ.
【解】
まず, であれば, 明らかに条件をみたす.
各 がすべて等しくない場合, 少なくとも
つは,
の相加平均よりも大きくなり, 少なくとも
つは, 相加平均よりも小さくなる*1. いま, 相加平均よりも大きくなるもののいずれかを
としても一般性を失わない.
すると,
だから,
が出て, 他の 個の相加平均よりも大きい
が存在する.
したがって, 実数 が
であることが必要十分条件である.
//
*1:有限個の自然数の組は (実数とは異なり) 必ず最大値と最小値が存在する. ,
とすれば,
となる. ここで, (少なくともひとつの) 等号が成立することと,
であることは同値である.