陥没地帯 (258) - ノリの悪い日記

$1989$ 年, 京大理系の問題. データは規格化して扱うという方針で最初やってみたが, 結局最後はそんなことをしなくても解けることがわかった, あっけない問題である.

【問】
$n$ 個 ( $n \geq 3$ ) の実数 $a_1,\ a_2, \cdots,\ a_n$ があり, 各 $a_i$ は他の $n-1$ 個の相加平均よりも大きくはないという. このような, $a_1,\ a_2, \cdots,\ a_n$ の組をすべて求めよ.

【解】
まず, $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ であれば, 明らかに条件をみたす.

各 $a_i$ がすべて等しくない場合, 少なくとも $1$ つは, $a_1,\ a_2, \cdots,\ a_n$ の相加平均よりも大きくなり, 少なくとも $1$ つは, 相加平均よりも小さくなる*1. いま, 相加平均よりも大きくなるもののいずれかを $a_1$ としても一般性を失わない.

すると,

$\displaystyle{ a_1-\frac{a_1 + \cdots +a_n}{n} \\= \frac{(n-1)a_1}{n} -\frac{a_2+ \cdots +a_n}{n}>0}$

だから,

$\displaystyle{ a_1 > \frac{a_2+ \cdots +a_n}{n-1} }$

が出て, 他の $n-1$ 個の相加平均よりも大きい $a_i$ が存在する.

したがって, 実数 $a_1,\ a_2, \cdots,\ a_n$ が $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ であることが必要十分条件である.
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*1:有限個の自然数の組は (実数とは異なり) 必ず最大値と最小値が存在する. $a= \max(a_1, \cdots, a_n)$ , $b= \min(a_1, \cdots, a_n)$ とすれば, $\displaystyle{\frac{\overbrace{b + \cdots +b}^{n}}{n} \leq \frac{a_1 + \cdots +a_n}{n} \leq \frac{\overbrace{a + \cdots +a}^{n}}{n}}$ となる. ここで, (少なくともひとつの) 等号が成立することと, $a =b$ であることは同値である.