年の問題. これは中学生で解けるなあ. 大学入試問題だから三角関数を使ってみよう (中学生はピタゴラスの定理を使えばよく, 手間はそれほど変わらない).
【解】
から に垂線を下ろし, 足を とする. は (直角) 二等辺三角形なので, は の中点である. は と垂直, また与えられた条件から, とも垂直である. したがって, は平面 と垂直である. ゆえに, は, と垂直である. これより, は二等辺三角形で である. また, 平面 は を含むので, 平面 と垂直である. このことから, は, から (平面 と平面 の) 交線 に下ろした垂線の足に他ならない.
とすると, 余弦定理より,
これから,
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