京大入試問題から (6) - ノリの悪い日記

$2011$ 年の問題. これは中学生で解けるなあ. 大学入試問題だから三角関数を使ってみよう (中学生はピタゴラスの定理を使えばよく, 手間はそれほど変わらない).

【解】
$O$ から $BC$ に垂線を下ろし, 足を $D$ とする. $\triangle OBC$ は (直角) 二等辺三角形なので, $D$ は $BC$ の中点である. $BC$ は $OD$ と垂直, また与えられた条件から, $OA$ とも垂直である. したがって, $BC$ は平面 $OAD$ と垂直である. ゆえに, $BC$ は, $AD$ と垂直である. これより, $\triangle ABC$ は二等辺三角形で $AC = \sqrt{7}$ である. また, 平面 $ABC$ は $BC$ を含むので, 平面 $OAD$ と垂直である. このことから, $H$ は, $O$ から (平面 $ABC$ と平面 $OAD$ の) 交線 $AD$ に下ろした垂線の足に他ならない.

$\displaystyle{OD = \frac{3\sqrt{2}}{2}}$
$\displaystyle{AD=\sqrt{ \left(\sqrt{7}\right)^2-\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{10}}{2}}$