ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

京大入試問題から (6)

2011 年の問題. これは中学生で解けるなあ. 大学入試問題だから三角関数を使ってみよう (中学生はピタゴラスの定理を使えばよく, 手間はそれほど変わらない).

【解】
O から  BC に垂線を下ろし, 足を D とする.  \triangle OBC は (直角) 二等辺三角形なので,  D BC の中点である.  BCOD と垂直, また与えられた条件から,  OA とも垂直である. したがって,  BC は平面  OAD と垂直である. ゆえに,  BC は, AD と垂直である. これより,  \triangle ABC は二等辺三角形で  AC = \sqrt{7} である. また, 平面  ABC BC を含むので, 平面  OAD と垂直である. このことから,  H は,  O から (平面  ABC と平面  OAD の) 交線  AD に下ろした垂線の足に他ならない.

 \displaystyle{OD = \frac{3\sqrt{2}}{2}}
 \displaystyle{AD=\sqrt{ \left(\sqrt{7}\right)^2-\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{10}}{2}}

 \angle OAD = \theta とすると, 余弦定理より,

 OD^2 = OA^2 + AD^2 - 2OA\cdot AD \cos{ \theta}

これから,

 \displaystyle{\cos{ \theta}= \frac{1}{\sqrt{10}}}

 \displaystyle{\sin{\theta}= \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 }= \frac{3\sqrt{10}}{10}}

 \displaystyle{OH = OA\sin{\theta} = \frac{3\sqrt{10}}{5}}
//