都立国立高校入試問題から

高校入試問題に戻って, $2022$ 年度の国立高校入試問題の一部だけやってみた.

立方体の $1$ 辺の長さは $8$ cm である.

【解】当たり前といえば当たり前なのだが, 「直線と平面が平行である」についてもっとも基本的なことを確認しておく. 直線と平面が平行であることの定義は, 「ひとつの直線とひとつの平面が共有点を持たない」ということである. それで, ここから出てくるもっとも基本的なことは, 「 $2$ つの直線が平行ならば, その一つの直線を含みもう一つを含んでいない平面は, 含まれていない直線と平行である」ということである. 簡単だが証明しておく.

直線 $AB$ , $CD$ を平行な $2$ 直線とする. $CD$ を含み, $AB$ を含んでいない平面を $P$ とする. $AB$ と $CD$ は平行なので, これをともに含む平面 $Q$ がただ一つ存在する. $CD$ は平面 $P$ と $Q$ との交線である. つまり平面 $P$ と平面 $Q$ の共有点はすべて $CD$ 上にある. $AB$ と $CD$ は平行なので $AB$ は $CD$ と共有点をもたない. したがって $AB$ は平面 $P$ と共有点をもたない. つまり $AB$ は平面 $P$ と平行である.

前置きが長くなったが, 問題の解に入る. 題意を満たすには, 直線 $NI$ が平面 $LMP$ と平行であればよい. それには, 平面 $LMP$ に含まれている直線と平行であるようにすればよいのだが, 平行線は同一平面にある必要があるので, その同一面を $NI$ を含んでいる立方体の面とするのが自然であろう. それで平面 $LMP$ と立方体の面との交線を定める.

わかっている交線上の点は, 下の図で $M$ , $L$ , $O$ である. $MO$ と立方体の対面は平行なので, 平面 $LMP$ と立方体の対面の交線は, $L$ を通り $MO$ に平行な $LK$ である. $K$ と $O$ はともに立方体の面 $BFGC$ 上にあるから, この面と平面 $LMP$ の交線は, $OK$ である. したがって, $N$ を通り $OK$ に平行線 $NI$ を引けば, $NI$ は, 平面 $LMP$ に平行となる.