ゴーシュ四辺形 - ノリの悪い日記

宮澤賢治も詩の中で使っている「ゴーシュ四辺形」とはすべての辺が同一平面上にない四辺形のことである. 下の図で四辺形 $ABCD$ はゴーシュ四辺形で, 四辺形の対角線 $AC$ で分けられる $\triangle ABC$ と $\triangle ADC$ は同一平面にはない.

いま, ゴーシュ四辺形の向かいあった辺 $AB$ , $CD$ の中点をそれぞれ $P$ , $Q$ とする. そしてその二つの中点を通る任意の平面 $\alpha$ をとり, 平面 $\alpha$ がゴーシュ四辺形の残りの辺, $AD$ , $CB$ と交る点をそれぞれ, $E$ , $H$ とする. また, ゴーシュ四辺形の頂点 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ とする. そうすると $P$ , $Q$ は中点であるから,

$AA' = BB'$
$CC' = DD'$

であることが三角形の合同からすぐにわかる. すると,

$AA' : DD' = BB': CC'$

であり, このことと三角形の相似より,

$AE:ED = BH: HC$
$AE:AD = BH: BC$

であることが言える. つまりゴーシュ四辺形の対辺の中点をすぎる平面は, 残りの $2$ 辺を同じ比に分けることがわかった.

これを使って前の記事の問題の別解を与える. 下の図で, 四角錐 $C-QEPH$ と $D-QEPH$ は底面共通で高さが同じなので体積は等しい. $\triangle EAP$ と $\triangle DPB$ の面積比は, $AE: AD$ である. 四面体 $C-EAP$ と $H-DPB$ の高さの比は $BC:BH$ である. したがって, 四面体 $C-EAP$ と $H-DPB$ の体積は等しい. 以上から, 平面 $PHQE$ は四面体の体積を二等分する.