ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (286)

高校数学

$2021$ 年共通テスト, 数学 $1A$ から. 長い問題文によって訳の分からない誘導をされている内に, 考え方の柔軟性が失われてがんじがらめとなり, 普通に考えれば, 合同式を使って解けばよいだけの難易度のない問のはずが, そう解かない面倒なやり方へと誘われてしまう悪問だと思う.

【問】
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【解】
$(1)$
偶数の目が $x$ 回, 奇数の目が $y$ 回出たとして,

$5x-3y = 1$
$x + y = 5$

から, $x= 2$ , $y = 3$ .

$(2)$
$5x -3y = 1=5 \times 2 \times 8 - 3 \times 3 \times 8$

から,

$5 \times (x - 2 \times 8) = 3 \times (y - 3 \times 8)$

$3$ と $5$ は互いに素だから,

$x = 2 \times 8 + 3k$
$y = 3 \times 8 + 5k$

$0 \leq y < 5$ のとき,

$0 \leq 3 \times 8 + 5k < 5$

から, 整数解は $k = -4$ のみ. したがって,

$x = 4$ , $y = 4$

つまり, サイコロを $8$ 回投げて, 偶数が $4$ 回, 奇数が $4$ 回出るときである.

$(3)$
問 $(2)$ の解は,

$x = 1 + 3(k+ 5)$
$y = 4 + 5(k+4)$

と表わすことができる. つまり,

$x \equiv 1 \pmod{3}$
$y \equiv 4 \pmod{5}$

$x= 1$ , $y = 4$ のとき, $5x - 3y= -7$ となる. したがって, 偶数の目を $1$ 回, 奇数の目を $4$ 回, 計 $5$ 回, サイコロを振るのが最小回数である.

※
まず,

$x \equiv 1 \pmod{3}$ , $y \equiv 4 \pmod{5}$

であるとして,

$x = 1+ 3j$
$y = 4 + 5k$
( $j$ , $k$ は任意の整数)

とおくと,

$5x -3y \\= -7 + 15 (j -k) \\ \equiv 8 \pmod{15}$

となる. 逆に,

$5x -3y \equiv 8 \pmod{15}$

ならば,

$5x -3y = 8 + 15m$
( $m$ は整数)

となるので,

$x \equiv 1 \pmod{3}$ , $y \equiv 4 \pmod{5}$

であることがすぐにわかる (単に, 不定方程式 $5x -3y = 8 + 15m$ を合同式で解けば得られる結果である).

$x \geq 0$ , $y \geq 0$ のとき, $x + y$ が最小値を取るのは, 明らかに $x = 1$ , $y = 4$ のときである.//

$(4)$
$5x -3 y \equiv 10 \pmod{15}$ のとき:

$2x \equiv 1 \pmod{3}$
$2y \equiv 0 \pmod{5}$

したがって, $x \equiv 2 \pmod{3}$ , $y \equiv 0 \pmod{5}$ で,

$x + y$ の最小値は $2$

$5x -3 y \equiv 11 \pmod{15}$ のとき:

$2x \equiv 2 \pmod{3}$
$2y \equiv 1 \pmod{5}$

したがって, $x \equiv 1 \pmod{3}$ , $y \equiv 3 \pmod{5}$ で,

$x + y$ の最小値は $4$

$5x -3 y \equiv 12 \pmod{15}$ のとき:

$2x \equiv 0 \pmod{3}$
$2y \equiv 2 \pmod{5}$

したがって, $x \equiv 0 \pmod{3}$ , $y \equiv 1 \pmod{5}$ で,

$x + y$ の最小値は $1$

$5x -3 y \equiv 13 \pmod{15}$ のとき:

$2x \equiv 1 \pmod{3}$
$2y \equiv 3 \pmod{5}$

したがって, $x \equiv 2 \pmod{3}$ , $y \equiv 4 \pmod{5}$ で,

$x + y$ の最小値は $6$

$5x -3 y \equiv 14 \pmod{15}$ のとき:

$2x \equiv 2 \pmod{3}$
$2y \equiv 4 \pmod{5}$

したがって, $x \equiv 1 \pmod{3}$ , $y \equiv 2 \pmod{5}$ で,

$x + y$ の最小値は $3$

以上から, 最小回数がもっとも大きいのは, $P_{0}$ から $P_{13}$ の移動で, $6$ 回である.
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